函数与方程专题试卷及参考答案——青夏教育精英家教网—

2005年高考大纲数学学科的主体内容没有变化，与去年的考纲相比：

在能力要求部分比去年增加了对“四能力、一创新”的界定，比如究竟什么是运算能力等，过去的大纲未做过详细表述.考纲指出“运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似的计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”. 中心思想是要求考生能够“在运算当中，寻找解题的方法”，加大了对学生运算能力考查的要求.

在考试内容部分比去年删减了两处知识点：“能利用计算器解决解三角形的计算问题”，以及“了解多面体的欧拉公式”；在考试要求部分也有不少细微的变动，比如对“三垂线定理及其逆定理”的考查，由“了解”改成了“掌握”，增加了“理解直线的倾斜角的概念”等等.《函数》这一章调整了一个知识点，把“函数的奇偶性”从下一章《三角函数》调了过来；改动了一个知识点，把“函数的应用举例”改成了“函数的应用”；增加了“了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法” 的考试要求，对函数的意义、性质及综合应用的考查要求有了明显的提高.

在试卷结构部分第一次取消了选择题、填空题、解答题三种题型分值比例的限制，删去了容易题、中等题和难题的比例和这三类难度题的界定.而去年明确给出了“选择题40%、填空题10%、解答题50%”、“难度在0．7以上的是容易题，难度在0．4~0．7的试题为中等题，难度在0．4以下的为难题.三种试题的难度的比为3：5：2” ，这一改变为命题者对试卷难度的控制提供了较大的空间.这里还需要留意的是，考纲指出“试卷由容易题、中等题和难题组成，总体难度适当，并以中等题为主”，去掉了去年 “以容易题和中档题为主”这句话中“容易题”这3个字，试卷整体难度预计会有所提高.

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纵观近几年的新课程高考卷以及2004、2003年的江苏卷，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.

(2004年，江苏卷8)若函数的图象过两点

(-1，0)和(0，1)，则　　　　　　　　　　　　　　　　

(A)a=2,b=2　 (B)a=,b=2　 (C)a=2,b=1 (D)a=,b=

(2003年，江苏卷6)函数的反函数为

　　　 (A)　　　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　　　　 (D)

　(2004年，江苏卷11)设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A 点，它的反函数y=f^-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于　　　　　　

(A)3　　　　　 (B)　　　　　(C)　　　　　(D)

(2003年，江苏卷9)已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则　 |m－n|=

　　　 (A)1　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　 (D)

(2004年，江苏卷13)二次函数y=ax²+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	6	0	-4	-6	-6	-4	0	6

则不等式ax²+bx+c>0的解集是_______________________.

(2003年，江苏卷4)设函数则x₀的取值范围是

(A)(－1，1)　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)(－1，+∞)

(C)(－∞，－2)∪(0，+∞)　 (D)(－∞，－1)∪(1，+∞)

(2004年，江苏卷12)设函数，区间M=[a，b](a<b)，集合N={}，则使M=N成立的实数对(a，b)有　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 (A)0个　　　 (B)1个　　　 (C)2个　　　　　 (D)无数多个

(2003年，江苏卷1)如果函数的图象与x轴有两个交点，则点(a，b)在aOb平面上的区域(不包含边界)为　　　

　(2004年，江苏卷22)已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有　

和，其中是大于0的常数.

设实数a₀，a，b满足　　　　和

(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)证明；

(Ⅲ)证明.

　(2003年，江苏卷22) 设如图，已知直线及曲线C：，C上的点Q₁的横坐标为().从C上的点Q_n(n≥1)作直线平行于x轴，交直线于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Q_n+1.

Q_n (n=1，2，3，…)的横坐标构成数列

　 (Ⅰ)试求的关系，并求的通项公式；

　 (Ⅱ)当时，证明；

　 (Ⅲ)当a=1时，证明

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由于函数在高中数学中具有举足轻重的地位，它仍将是2005年高考的一个热点.对函数试题的设计依然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图像、应用考查函数知识；与方程、不等式、解几等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查.

1. 函数的奇偶性. 因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法，今年考纲中新增加了“掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”这一考试要求，故而与函数的奇偶性有关的函数性质综合题应予以足够的关注.

例1.设为奇函数，则

例2.已知定义域为的函数是偶函数，并且在上是增函数，若，则的解集是

例3.函数的定义域为且为奇函数，当时，则当时，的单调减区间为

例4. 已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则　　　

例5.如果函数对任意实数，都有，则　　　

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2.复合函数. 函数试题的设计始终围绕着几个基本初等函数，并通过这几个函数之间的串联、组合成为复合函数，达到对函数知识、方法和思想的深刻考查.因而对复合函数类问题，要掌握换元、分解、整体代入等方法，找到其母函数，从而化归为基本初等函数问题加以解决.

例6.若，要使有意义，实数的取值范围是

例7.若函数的图象可由函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到,则

例8.已知，、为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是

(A)　 (B)　

(C)　　 (D)

例9.已知则不等式≤5的解集是　　　　 .

例10.已知函数，有下列命题：①时，只有一个实数根②时，是奇函数③的图象关于点对称④方程至多有3个实数根，则正确的命题的序号为　　　　

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3.抽象函数.抽象函数问题是近几年高考中函数类问题的一个新的热点，由于具体函数与抽象函数之间是特殊化与一般化的关系，因而抽象函数问题的解决方法更加灵活多样，既可以采用特殊化方法，又可以回归函数的各种性质，有利于考查学生的抽象思维能力，故而应引起我们的高度重视.

例11.已知的解析式可取为　　　　　

　　　 (A)　　　 (B)　　 (C)　　　 (D)

例12. 若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是

　　 (A)　 (B)　　 (C)　 (D)

例13.给出四个函数，分别满足：

①　　　 ②　

③　　　 ④

又给出四个函数的图像，则正确的匹配方案是

　　 (A)①-a 　②-b 　③-c ④-d　　　　 (B)①-b 　②-c 　③-a ④-d

　　　 (C)①-c 　②-a 　③-b ④-d 　　　　 (D)①-d 　②-a 　③-b ④-c

例14.已知的定义域为,若与互为反函数且　(为非零常数),则=　　　　

例15. 函数的定义域为，对于任意实数、，有：

且

(1)求证：

(2)若，，证明：在递减

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4.数学思想.数学思想能从整体上深层次认识数学的实质，对数学知识、数学方法的运用起到导向作用.对数学思想的教学在新授课和第一轮复习中通常处在“隐含、渗透”阶段，在第二轮复习中就应提升到“介绍、运用”阶段，应更加明确，更加系统，这是一个从模糊到清晰的质的飞跃。函数一章包含了考纲中明确考查的四种数学思想方法，即函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和等价转化思想等，我们应努力使其成为学生解决函数问题的自觉的行动指南.

例16. 若方程无解，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　