13.(湖南卷)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

(Ⅰ)求ξ的分布及数学期望；

(Ⅱ)记“函数f(x)＝x²－3ξx+1在区间[2，+∞上单调递增”为事件A，求事件A的概率.

解：(I)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”

　　　 为事件A₁，A₂，A₃. 由已知A₁，A₂，A₃相互独立，P(A₁)=0.4，P(A₂)=0.5，

　　　 P(A₃)=0.6.

　　　 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取

　　　 值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.

　　　 P(=3)=P(A₁.A₂.A₃)+ P()

= P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P()

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

1　　 3　 P 0.76 0.24

　　　 P(=1)=1－0.24=0.76.

　　　 所以的分布列为

　　　 E=1×0.76+3×0.24=1.48.

(Ⅱ)解法一　 因为

所以函数上单调递增，

要使上单调递增，当且仅当

从而

解法二：的可能取值为1，3.

当=1时，函数上单调递增，

当=3时，函数上不单调递增.0

所以

14.(江苏卷)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.

(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;

(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;

(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?

20、(1)设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件为“4次均击中目标”，则

(2)设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则

(3)设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。

故

15.(江西卷)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.

(1)求的取值范围；

(2)求的数学期望E.

解：(1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：

(2)

16.(江西卷)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.

解：(1)设表示游戏终止时掷硬币的次数，

设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：

17．(辽宁卷)

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.

　 (Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

　 (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在(I)的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

　 (Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(II)的条件下，x、y为何值时，最大？最大值是多少？　　　　 (解答时须给出图示)

(Ⅰ)解：…………2分

(Ⅱ)解：随机变量、的分别列是

　…………6分

(Ⅲ)解：由题设知目标函数为 ……8分

作出可行域(如图)：

作直线　

将l向右上方平移至l₁位置时，直线经过可行域上

的点M点与原点距离最大，此时　　　　　　　　 …………10分

取最大值. 解方程组　　　

　　　 得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .……………12分

18．(浙江卷)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

　 (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．

　 (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．　

解: (I)(i)　

(ii)＝

(II)设袋子A中有个球，则袋子B中有2个球

由得

19．(浙江卷)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

　 (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．

　 (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

解：(I) (i)

(ii) 随机变量的取值为0, 1, 2, 3.

由n次独立重复试验概率公式得

随机变量的分布列是

	0	1	2	3

的数学期望是

(II) 设袋子A有m个球，则袋子B中有2m个球。

由

得

20．(湖南卷)

　　　 某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

　 (Ⅰ)求3个景区都有部门选择的概率；

　 (Ⅱ)求恰有2个景区有部门选择的概率.

20．解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为3⁴.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.

(I)3个景区都有部门选择可能出现的结果数为(从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法)，记“3个景区都有部门选择”为事件A₁，那么事件A₁的概率为

P(A₁)=

(II)解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A₂和A₃，则事件A₃的概率为P(A₃)=，事件A₂的概率为

P(A₂)=1－P(A₁)－P(A₃)=

解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为(先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法).所以P(A₂)=

21.(山东)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.

(I)求袋中所有的白球的个数；

(II)求随机变量的概率分布；

(III)求甲取到白球的概率.

解:(I)设袋中原有个白球,由题意知

可得或(舍去)即袋中原有3个白球.

(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

所以的分布列为:

	1	2	3	4	5

(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则

22. (重庆卷)

　　 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张，求：

　　 (1) 该顾客中奖的概率；

　 　(2) 该顾客获得的奖品总价值x (元)的概率分布列和期望Ex。

18．(本小题13分)

　　　 解法一：

　 (Ⅰ)，即该顾客中奖的概率为.

(Ⅱ)的所有可能值为：0，10，20，50，60(元).且

　

故有分布列：

	0	10	20	50	60
P

从而期望

解法二：

　 (Ⅰ)

(Ⅱ)的分布列求法同解法一

由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16(元).

23. (重庆卷)

　　 加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为、、，且各道工序互不影响。

　　 (1) 求该种零件的合格率；

　　 (2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。

18．(本小题13分)

　 (Ⅰ)解：；

　 (Ⅱ)解法一： 该种零件的合格品率为，由独立重复试验的概率公式得：

　　　　 恰好取到一件合格品的概率为　 ，

　　　　 至少取到一件合格品的概率为　

　　　　 解法二：

　　　　 恰好取到一件合格品的概率为，

　　 　　至少取到一件合格品的概率为