《集合与简易逻辑》复习

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；

5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

1、集合的概念：

(1)集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

(2)集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

　 　②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x²}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x²}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

(3)集合的表示法：

　　 ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N₊={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：

(1)元素与集合的关系，用或表示；

　 (2)集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。

3、集合运算

　 (1)交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C_UA={x|x∈U，且xA}，集合U表

示全集；

(2)运算律，如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，C_U(A∩B)=(C_UA)∪(C_UB)，

C_U(A∪B)=(C_UA)∩(C_UB)等。

4、命题：

(1)命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

(2)复合命题的形式：p且q，p或q，非p；

　 (3)复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

　 (3)四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、充分条件与必要条件

　 (1)定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；

　 (2)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；

(3)当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。

6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。

　　 例1、已知集合M={y|y=x²+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解题思路分析：

在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x²+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴ M∩N=M={y|y≥1}

说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x，y)|y=x²+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x²+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B+{x|x²-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。

解题思路分析：

化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}

当B=φ时，△=m²-8<0

∴

当B={1}或{2}时，，m无解

当B={1，2}时，

∴ m=3

综上所述，m=3或

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。

解题思路分析：

假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾

∴ 假设不成立

∴ x、y中至少有一个大于1

说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件(不能同时成立，但必有一个成立)，所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。

例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。

解题思路分析：

利用“”、“”符号分析各命题之间的关系

　 DCBA

∴ DA，D是A的充分不必要条件

说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。

例5、求直线：ax-y+b=0经过两直线₁：2x-2y-3=0和₂：3x-5y+1=0交点的充要条件。

解题思路分析：

从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。

由 得₁，₂交点P()

∵ 过点P

∴

∴ 17a+4b=11

充分性：设a，b满足17a+4b=11

∴

代入方程：

整理得：

此方程表明，直线恒过两直线的交点()

而此点为₁与₂的交点

∴ 充分性得证

∴ 综上所述，命题为真

说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。

(一)　 选择题

1、设M={x|x²+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是

A、{a}=M　　　　 　　　　 B、M{a}　　　　 　　　 C、{a}M　　　　 　　　 D、M{a}

2、已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是

A、 [0，2]　　 　　　　　　 B、(-2，2)　　　 　　　 C、(0，2]　　　 　　　　 D、(0，2)

3、已知集合M={x|x=a²-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b²-b，b∈R}，则M，N的关系是

A、 MN　　　 　　　　 B、MN　　　　　 　　　 C、M=N　　　　　 　　　 D、不确定

　　 4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是

A、11　　　　　 　　　　 B、10 　　　　　　　　　 C、16　　　　　　 　　　 D、15

5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15　　　　　  B、16 　　　　　　　　　 C、31　　　　　　 　　　 D、32

6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是

　　 A、所给命题为假　　　　 B、它的逆否命题为真　　 C、它的逆命题为真　　　 D、它的否命题为真

7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的

A、充分不必要条件　　　 B、必要不充分条件　　　 C、充要条件　　　　　　 　D、既不充分也不必要条件

　　 8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3+1，∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是

A、SBA　　　 　　　 B、S=BA　　　　 　　　 C、SB=A　　　　 　　　 D、SB=A

9、方程mx²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是

A、0<m≤1或m<0　　　　 B、0<m≤1　　　　　　　　 C、m<1　　　　　 　　　　D、m≤1

10、已知p：方程x²+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的

A、充分不必要条件　　　 B、必要不充分条件　　　　 C.充要条件　　　　　 　 D、既不充分又不必要条件

(二)　 填空题

11、已知M={}，N={x|，则M∩N=__________。

　　 12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。

13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。

14、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。

　　 15、非空集合p满足下列两个条件：(1)p{1，2，3，4，5}，(2)若元素a∈p，则6-a∈p，则集合p个数是__________。

(三)　 解答题

　　 16、设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求a取值范围。

17、已知抛物线C：y=-x²+mx-1，点M(0，3)，N(3，0)，求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。

18、设A={x|x²+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。

19、已知，b=2-x，c=x²-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。