1.代数应用题 　　例1．在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，使得n次测量分别得到a₁,a₂,…a_n共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a₁,a₂,…a_n推出的a=______________． 　　分析：本题是与其它学科相关的数学应用问题，要正确理解题意，并能把文字语言转化为符号语言． 　　解：依题意，本题即是求使 的最小值时，a的取值． 　　∵ ， 　　故当 时，f(a)最小． 　　例2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳锐，超过500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额	税率
不超过500元的部分	5%
超过500元至2000元的部分	10%
超过2000元至5000元的部分	15%

　　　 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 　　(A)800-900元 (B)900元-1200元 (C)1200-1500元 (D)1500-2000元 　　分析：注意分类讨论思想的应用． 　思路一：若收入1300元应纳税：500×5%=25元<26.78元 　　∴此人收入超过1300元，淘汰A、B． 　　若收入1500元应纳税：500×5%+200×10%=45元>26.78元 　　∴此人收入低于1500元，排除D，故选C． 　　思路2：设全月应纳税所得额为x元． 　　当x<500时，由题意知　 x.5%=26.78 　　∴ 故与题意不符合． 　　当500<x<2000元时，则500×5%+(x–500) ×10%=26.78 　　∴x=517.8 　　∴当月工资、薪金所得额为800+517.8=1317.8元． 　　故选C． 　　例3．设计某高速公路时，要求最低车速50千米/小时，最小车距为l千米(l是定值)，并且车速v与车距d之间必须满足关系 ,求： 　　(Ⅰ)常数k的值： 　　(Ⅱ)这条高速公路的一条车道上每小时的最高车流量．(单位时间车流量=车速/车距) 　　解：(Ⅰ)由题意，将v=50，d=l代入解析式中可求得 　　(Ⅱ) ． 　　设每小时车流量为Q，则 　　 　　(由实际问题， 皆为正值) 　　当且仅当 ，即 时等号成立． 　　而 所以当车速为 千米/小时，此高速公路一条车道上每小时的最大车流量为 辆． 　　例4.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线表示．

图一	图二

　 　　(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(x)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t) 　　(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，向何时上市的西红柿纯收益最大？ 　　(注：市场售价和种植成本的单位：元/10²kg，时间单位：天) 　　分析：要根据函数图象正确建立函数关系式，然后求最值． 　　解：由图一可得市场售价与时间的函数关系为 　　 　　由图二可得种植成本与时间的函数关系为， 　　 Ⅱ)设t时刻的纯收益h(t),则由题意得． 　　 　　当0≤t≤200时，配方整理得 　　 ， 　　∴t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 　　当 时，配方整理得， 　　 　　∴当t=300时，h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5 　　　 综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 　　例5某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营每年资金增长率均为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费资金后)，那么每年扣除消费基金x应是多少万元(精确到万元)？ 　　解：依题意，第一年年底扣除消费资金后，投入再生产资金为1000+1000×50%–x=1000× 　　　 第二年投入再生产资金为 　　 　　 …… 　　　 　第五年投入再生产资金为 　　 　　化简得： 　　故x≈424(万元) 　　答：每年扣除消费资金为424元． 　　说明：本题关键是寻求每年投入再生产资金的规律，构造数列模型来解题．

例6在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南　　　　

　 方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.

　　　　 在时刻：t(h)台风中心的坐标为

　　　　 此时台风侵袭的区域是，

　　　　 其中t+60，

　　　　 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

即

即，　 解得.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

例7、有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，(建立坐标系如图)

　 　 (Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，

　点P应位于何处？

　 (Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小，

　　　　 点P应位于何处？

本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.　　 (Ⅰ)解：由题设可知，记设P的坐标为(0，)，则P至三镇距离的平方和为　 所以，当时，函数取得最小值.　 答:点P的坐标是

(Ⅱ)解法一：P至三镇的最远距离为

　　 由解得记于是

　　 　当即时，在[上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中

　 解法二:P至三镇的最远距离为　 由解得

　 记于是

　　　

　 当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

　 　 当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为(0，0)，其中

　　　 解法三：因为在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为，

　 　 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，

若(如图1)，则点M在线段AO上，

这时P到A、B、C三点的最远距离为

P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M

重合时，P到三镇的最远距离最小.

　 　若(如图2),则点M在线段AO外,这时

P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，

　 且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，

P到三镇的最远距离最小为.

答：当时，点P的位置在△ABC的外心

；当时，点P的位置在原点O.

例8、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过万量，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

解：设2002年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆……，每年新增汽车万辆，则

，

对于，有

………………

∴

当，即时，

当，即时，并且数列逐项增加，可以任意靠近

因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即

则，即(万辆)

综上，每年新增汽车不应超过万辆。

例9、　　 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元。该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。

(I)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；

(II)当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？

(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本)

本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。

　 解：(I)当时，

　　 当时，

　　 所以

　　 (II)设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则

　　

　　 当时，

　　 因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元。

例10、本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.

某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，

随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

(1)　　 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？

(2)　　 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？

解.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中

则在2010年应该投入的电力型公交车为(辆)。

(2)记，依据题意，得。于是(辆)，即，

则有因此。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。

2．几何应用题． 　　例11．如右图，设田地喷灌水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，若C比B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少米？ 　　分析：本题要构造解析几何模型，其关键是确定抛物线的方程． 　　解. 依题可知.BE=CE=2(米)，CF=CE+EF=3.5(米)，点B的坐标为(0,1.5) 　　∴抛物线的方程为 　　由于它经过点B，故 　　 ∴4a=–2, ∴ . 　　　 故抛物线的方程为 　　当y=0时， 　　∴ 　　　 即水流落地点D和点A的距离为 　　例7.如右图是抛物线型拱桥，设水面宽AB=18米，拱项离水面的距离为8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF． 　　(1)若矩形的长CD=9米，那么矩形的高DE不能超过多少米才能使船通过拱桥？ 　　(2)求矩形面积S的“临界值”M：即当S≤M时，适当调整矩形的长和高，船能通过拱桥；而当S>M时，无论怎样调整矩形的长和高，船都不能通过拱桥． 　　分析：本题确切指明是抛物线型，因此关键是确定抛物线段的方程． 　　解：(1)如图，以O点为原点，过O平行AB的直线为x轴以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．则B(9，-8)

设抛物线方程为 (p>0) 　　　 ∵B点在抛物线上， 　　∴81=–2p(–8) ∴ 　　　　 ∴抛物线的方程为 　　当 时，y=–2，∴|DE|=6， 　　所以当矩形的高DE不超过6米时，才能使船通过拱桥．

　　(2)设 　　则|CD|=2x, 　　　 ∴ 　　　 　　　 当且仅当 即 ,8取得最大值32 平方米，∴矩形面积S的临界值M为 。

例12、如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。

(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

(半个椭圆的面积公式为。柱体体积为：底面积乘以高。本题结果均精确到0.1米)

［解］(1)如图建立直角坐标系，则点P(11，4.5)

椭圆方程为

将与点P坐标代入椭圆方程，得，此时

因此隧道的拱宽约为33.3米。

(2)［解一］由椭圆方程

得

因为，即，且

所以

当S取最小值时，有，得

此时

故当拱高约为6.4米，拱宽约为31.1米时，土方工程量最小

［解二］由椭圆方程，得

于是

即，当S取最小值时，有

得，，以下同解一

例13、　 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点。近地点A距地面200km，远地点B距地面350km。已知地球半径R＝6371km。

　 (I)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；　　

(II)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返

回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约

，问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s？

(结果精确到1km/s)(注：km/s即千米/秒)

本小题主要考查椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分14分

　　 解：(I)设椭圆的方程为　　 由题设条件得

　　

　　 解得　　 所以

　　

　　 所以椭圆的方程为

　 (注：由得椭圆的方程为，也是正确的。)

(II)从15日9时到16日6时共21个小时，合21×3600秒

　　 减去开始的9分50秒，即9×60+50＝590(秒)，再减去最后多计的1分钟，共减去590+60＝650(秒)　　 得飞船巡天飞行的时间是　　 (秒)

　　 平均速度是(千米/秒)　　 所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s。

例14、A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A₁，A₂，A₃，B

队队员是B₁，B₂，B₃，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员	A队队员胜的概率	A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总

分分别为ξ、η

　 (1)求ξ、η的概率分布；

　 (2)求Eξ，Eη.

本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力

解：(1)ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.

，

根据题意知ξ+η=3，所以　 P(η=0)=P(ξ=3)=, P(η=1)=P(ξ=2)=

P(η=2)=P(ξ=1)= ,　 P(η=3)=P(ξ=0)= .

　 (2)； 因为ξ+η=3，所以　

1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成(　　 ) 　　(A)511个　 (B)512个　　 (C)1023个　 (D)1024个 　　2. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3min漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，设H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(min)的函数关系的图示只可能是(　　 )

3.1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%,2000年度世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数关系式是____________． 　　4.某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为(　　 ). 　　(A) 　 (B) 　 (C) 　　 (D) 　　5.造纸厂用若干台效率相同的抽水机从河里往蓄水池灌水，若所有机械同时开动，则需24小时灌满水池，若一台接一台地开动，每相邻两台启动时间间隔都相同，那么灌满水池时，第一台的工作时间是最后一台的7倍，问第一台工作了多少时间？ 　　6.某化工厂生产某种化工产品，根据市场调查，年产量需不小于150吨且不大于220吨．这时，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数可近似的表示为 ． 　　(Ⅰ)当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本． 　　(Ⅱ)若每吨平均出厂价为16万元，求年产量为多少吨时，可获得最大的年利润；并求出最大年利润． 　　7.某地区上年度电价为0.8元/kw.h，年用电量为akw.h，本年度计划将电价降到0.55元/kw.h到0.75元/kw.h之间，而用期望电价为0.4元/kw.h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(此例系数为k) 　　该地区电力的成本价为0.3元/kw.h． 　　(Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部分的收益y与实际电价x的函数关系式； 　　(Ⅱ)设k=0.2a,当电价最低定为多少时，可保证电力部分的收益比上年至少增长20%？ 　　(注：收益=实际用电量×(实际电价–成本价)

1.选(B).提示：细菌繁殖的问题是一个等比数列问题，其首项为1，公比为2，经过3小时分裂9次，因此末项是a₁₀　 ∴ 　　　 2.选(B)，提示：圆柱中液面上升速度为一个常量，即相同时间内漏入圆柱中的液体体积相同，则在圆锥漏斗中，相同时间内保持漏出液体体积相同，是H的增长越来越快． 　　3. 　　　 4.选(B)提示：设一月份为a，月平均增长率为m,则 　 ∴ ． 　　5.解：设有n台抽水机，每相邻两台启动时间间隔为d小时，最后一台工作时间为t小时，依题意，得. 　　　 　　 ∴t=6 　　　 答：第一台工作时间为42小时．

6．解：(Ⅰ)每吨平均成本为 (万元)． 　　则 　　当且仅当 即x=200时取等号． 　　又150≤200≤220，∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为10万元． 　　(Ⅱ)设年获得总利润为Q万元，则 　　 　　∵ 而Q在 时是增函数， 　　∴x=220时， 　　∴年产量为220吨时，可获得最大利润1280万元． 　　7.解：(Ⅰ)设下调后的电价为x元/kw.h，依题意知：用电量增至 电力部门的收益为 　　(Ⅱ)依题意，有 　　 　　整理得 　　解此不等式组得0.60≤x≤0.75 　　　 答：当电价最低定为0.60元/kw.h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%