专题复习--直线与圆锥曲线

(一)知识与方法要点：

　　 直线与圆锥曲线的关系问题是平面解析几何中的重要问题，一方面它能很好地把有关直线方程的知识和圆锥曲线方程的知识综合起来；另一方面，其中蕴藏了丰富的思想方法，是历年高考试题中的常考常新的内容，从而也就成为高三总复习的着力点

　　 常见的问题有：

　 1. 直线与圆锥曲线位置关系的研究。

　　 包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。

　 2. 直线与圆锥曲线相交成弦的问题。

　　 包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程，对称性问题等等。

　　 基本的思想方法：

　 1. 直线与圆锥曲线的位置关系是由它们的方程组成的方程组的解的情形来确定的，因此要学会利用对方程组的解的情况的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系。反之亦然，这种思考方法就是解析几何的坐标法。

　 2. 分析直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意对称性的应用和数形结合思想的应用，以及方程、函数的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想的运用。

　 3. 直线l：y=kx+b与圆锥曲线C：F(x，y)=0相交所得弦长的计算方法(公式)：

　　 设l与曲线C相交于两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

　　

　　

　　

　　 如此以来，便与一元二次方程f(x)=0的根与系数的关系公式建立了联系，自然地，就需联立直线l与曲线C的方程，消元，化出关于x的一元二次方程。(注意，该方程的两个实根恰为A，B两点的横坐标x₁，x₂)

[典型例题]

　　 例1. 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线l：y=2x+1截得的弦长为

　　 分析：依题意可知抛物线的开口或向左或向右，而标准方程中均有p>0，为了统一起见，不妨设出抛物线方程的统一形式：y²=2mx(m∈R，且m≠0)，再根据弦长为

　 　解：设所求抛物线方程为y²=2mx(m∈R且m≠0)，另设l与该抛物线交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

　　

　　 一方面，因l与抛物线相交于两点，故Δ=(4－2m)²－16>0，

　　 解得m<0或m>4

　　

　　

　　 解得m=－2或m=6，显然均满足题意。

　　 故所求抛物线的方程为y²=－4x或y²=12x。

　　 注：本例中体现了方程的思想方法，即为了求抛物线，先设出其方程，然后利用已知条件待定所设的参数m，把问题转化为解关于m的方程。

　　 例2. 设过原点的直线l与抛物线y²=4(x－1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，

　　 (1)求直线l的方程；

　　 (2)求|AB|的长。

　　 分析：(1)欲求l的方程，只需待定其斜率k，为此就需寻求等量关系，以便列出关于k的方程。由已知条件，发现：AF⊥BF，从而得到等量关系k_AF.k_BF=－1，从而k可求

　　 (2)一旦直线l确定，则求弦长|AB|迎刃而解。

　　 解：(1)设直线l的方程为y=kx，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

　　

　　 显然k=0时，l与x轴重合，不合题意，故k≠0，从而有

　　

　　 又由已知条件，得AF⊥BF，∴k_AF.k_BF=－1，又F(2，0)

　　

　　 而y₁=kx₁，y₂=kx₂，代入上式，整理，得

　　

　　

　　

　　

　　

　 　例3. 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，其右焦点到直线

　　 (1)求椭圆方程；

　　 (2)椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。

　　 分析：

来待定出a即可。

　　 (2)由椭圆与直线相交于不同两点，可得知由它们的方程联立消元所得的一元二次方程有两个不等实根，从而有Δ=f(m，k)>0；另一方面，又由|AM|=|AN|，可得点A在线段MN的垂直平分线上，设MN中点为P，则有MN⊥AP，从而k_MN.k_AP=－1，即g(m，k)=0，只需联立f(m，k)>0及g(m，k)=0消去k，解关于m的不等式即可，求得m的取值范围。

　　 解：

　　 而b=1，右焦点设为F(c，0)，

　　

　　

　　

　　 (2)设P为线段MN中点，由|AM|=|AN|得MN⊥AP，

　　 从而k_MN.k_AP=－1　 ①

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 由②③，消去k²，得m²<2m，解得0<m<2。

　　

　　 例4. 直线m：y=kx+1和双曲线x²－y²=1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2，0)和线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。

　　 分析：本题的目标是求参数b的取值范围，与例3中第(2)问，在方法上相同，一方面，由直线m与双曲线左支交于两点，可得关于k、b的不等式，Δ=f(k，b)>0，但应注意A、B两点的横坐标x_A，x_B均小于0；另一方面，由直线l过P及AB中点，又可得到关于k，b的等量关系g(k，b)=0，联立f(k，b)>0及g(k，b)=0，可求b的取值范围。

　　 解：

　　 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中点为M(x₀，y₀)，则由题意，得

　　

　　

　　

　　

　　

　　 注：求b的取值范围，即求以k为自变量的函数b=f(k)的值域。

　　

　　

　　

　　

　　

　　 例5.

交于A，与另一渐近线l₂交于点B，求证：线段AB被双曲线的左准线平分。

　　 分析：本题的一般思路为：设出l的点斜式方程→分别与l₁，l₂的方程联立，表出A，B坐标→求出AB中点M的坐标，→验证点M在双曲线的左准线上。事实上，由于

一元二次方程，利用韦达定理，可得x_A+x_B，进而可求得x_M。

　　 解法一：(求A，B交点坐标)

　　

　　 ∵l⊥l₂

　　

　　

　　

　　

　　

　　 经验证，M在左准线上，故线段AB被双曲线的左准线平分。

　　 解法2：

　　

　　

　　

　　

　　

　　 ∴AB的中点M在左准线上，即线段AB被双曲线的左准线平分。

　　 例6.

试求m的取值范围。

　 　分析：“两点A、B关于直线l对称”，意味着①直线AB与椭圆有两个不同交点；②直线AB⊥l；③线段AB的中点在l上，逐一把这些几何关系化为代数的等式或不等式，即可达到求m的取值范围的目的。

　　 解：设在椭圆上A、B两点关于直线l对称，则依题意，直线AB方程可设为

　　

　　

　　

　　 ∵点M在l上

　　

　　

　　 又直线AB与椭圆相交于A、B两点，

　　

　　

　　

[模拟试题]

　 1. 设抛物线截直线所得弦长为，

　　 (1)求k的值；

　　 (2)以(1)中所得弦长为底边长，以x轴上P点为顶点的三角形的面积为9时，求点P的坐标。

　2. 若抛物线上总存在关于直线l：对称的点，求a的取值范围。

3. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，

　　 (1)求证：OA⊥OB；

　　 (2)当△OAB的面积为时，求k的值。

　4. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、到右焦点、到右准线的距离依次成等差数列，若直线l与椭圆相交于A、B两点，且AB中点M(－2，1)，且，求直线l和椭圆的方程。