1、会用导数的定义求简单函数的导数。

2、正确运用导数的运算法则求多项式函数的导数。

3、会求出曲线上一点或曲线外一点的切线方程。

知识概要

1、导数的概念及运算法则。

2、导数的几何意义。

重点、难点

1、根据函数式的特征，灵活运用相关公式对原函数式变形，求出导数或导函数。

2、如何求曲线上一点或曲线外一点的切线方程。

基础练习

1、(1)若函数=，则；

　(2)若常数函数

(3)若函数，则；

(4)若函数。

以上命题正确的是__________________

2、(1)函数的导函数为_______________；

　　　 (2)的导函数为_____________；

3、若是曲线y=x²的两点，则割线PQ的斜率为_____。

4、设曲线y=x³－3x在点P处的切线过点(0，16)，则的方程________。

例题讲解

例1 ：已知函数f(x)=x⁵－5ax²+5x+a且，求f(x)的解析式。

例2：已知曲线C：y=ax⁴+bx³+cx²+dx+e过点A(0，－1)且关于y轴对称，若C在x=1处的切线方程2x+y－2=0，求曲线C的方程。

例3：O是原点，直线过抛物线C：y=x²上一点P，直线与C相切于点P，、分别与y轴、C的准线相交于点Q、R，且

(1)求点M的轨迹方程；　　

(2)设的方向向量为，试说明使得∥点P是否存在。

课后作业

班级_______学号__________姓名_________

1、 求导f(x)=(x－)²(x²+x+)²:____________

2、 若函数的导数为,则m=__________,n=__________

3、 若曲线y=+x过点P的切线垂直于直线y=x，则这条切线的方程_______

4、 设曲线y=－x³+3x²－3x² －2x+10的切线的倾斜角为α，则α的取值范围_______

5、 已知曲线y=x³－2x²+x在点P₁、P₂处的切线斜率都为1，则P₁P₂在x轴的射影长为(　 )

A　 　　　　　 B　 　　　　　 C　 　　　 D　

6、已知使f(x)=x³+ax²－4a的导数为0的x的值也使f(x)的值为0，求a的值。

7、(1)f(x)=2ax³+3bx²+2abx(a>0，b>0)且,求ab=1时，f(x)的解析式。

(2)已知曲线y=ax⁴+bx³+cx+1关于点(0，1)对称，且在点(1，0)处的切线斜率为1，求a、b、c。

8、已知函数f(x)=，且对任意x∈R，≥0，求a的范围。

9、(选做题)

A、B是曲线y=x³－ax上不同的两点，且过A、B两点的切线都与直线AB垂直。

(1)证明A、B两点关于原点对称　　　 (2)证明|a|≥

高三数学教学案　　　　　 　　 　　

第二课时 　　 导数的应用(一)

考纲摘录

1、理解运用导数的知识判断函数的单调性方法。

2、掌握运用导数的知识求函数的极值与最值的方法。

重点、难点

1、讨论含参数的函数的单调性。

2、理解极值、最值的概念，解决实际问题。

基础练习

1、f(x)=x⁴－2x²+1的单调增区间为________，单调减区间为________。

2、若函数f(x)=x³+ax－2在区间(1+∞)内是增函数，则实数a的取值范围(　 )

　　 A　 (3，+∞)　　　 B　 [－3，+∞)　　　 C　 (－3，+∞)　　 D(－∞，－3)

3、已知函数y=f(x)在x=1处的导数为，若f(1)为函数的极值，则(　 )

　A　 >0　　　　 B　 <0　　　　　 C　 ≠0　　　　 D =0

4、函数y=x³－3x²－9x+5在[－4，4]上的最大值为________。

5、函数在(1，2)内是减函数，且在(2，+∞)内是增函数，则a=_____。

例题讲解

例1：已知f(x)=ax³+cx+d(a≠0)是R上奇函数，当x=1时，f(x)取得极值－2。

(1)求f(x)的单调区间和极大值　

(2)证明对任意x₁、x₂∈(－1，1)，不等式|f(x₁)－f(x₂)|<4恒成立

例2：已知，

的夹角为60⁰，求k的取值范围。

例3：一自来水厂的蓄水池中原有水650吨，一天24小时在向水池中注水的同时，蓄水池又向居民供水，若x小时内向居民的总供水量为240吨，问当每小时向水池注水120吨，一天中何时蓄水池中水量最少。

课后作业

班级_______学号__________姓名_________

1、在区间()内的单调性是________

2、y=x⁴－4x³+1的极值是________

3、y=x⁴－32x+9在定义域R内的最小值为_________

4、若a<0，则函数f(x)=ax⁵－5ax在x=______处时取极小值________，在x=_______上时取极大值_______

5、y=－x³+mx²+1(m≠0)在(0，2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是______

6、已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，在x=－与x=1时f(x)都取得极值

(1)求a、b的值　　　　　　

(2)若对x∈［－1，2］时，f(x)<c²值成立，求c的取值范围

7、已知二次函数f(x)当x=时有极值，函数图象过点(0，－1)点，且在该点处的切线与直线x－y=0垂直

(1)求f(x)的解析式

(2)若g(x)=xf(x)，求g(x)的单调递减区间

(3)设h(x)=(x+a)f(x)，若对任意a∈[－1，1]，h(x)在(－∞，m)和(n,+∞)上都是增函数，求m与n的取值范围。

8、某制药厂为了获得较大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，当投入广告费为t(百万元)时(0≤t≤5)销售额约为－t²+5t(百万元)(注：收益=销售额－投入)，若该厂准备投入3百万元，用于广告促销和技术改造，经预测，当投入技术改造费为x(百万元)，销售额增加约为(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该厂由此获得的收益最大。

高三数学教学案　　　　　 　　 　　

第三课时　 　　 导数的应用(二)

考纲摘录

导数与函数知识相结的综合运用，掌握用导数求函数的最大值、最小值问题，能利用函数的单调性证明或解不等式。

基础练习

1、三次函数y=x³－3bx+3b在[1，2]内恒成正值的充要条件(　 )

A　 1≤b≤2　　　　　 B　 b≤0　　　　 C　 1≤b≤2　　　 D　 b<

2、y=x³+3x²+6x－10切线中，斜率最小的切线方程是_______

3、直线y=a与函数f(x)=x³－3x的图象有三个不同的公共点，则a的取值范围是______

4、当正数k∈_______时，函数f(x)=kx³+3(k－1)x²－k²+1在(0，4)上是减函数。

例题讲解

　 例1：已知函数f(x)=－x³+ax² +b(a、b∈k)

　 (1)要使f(x)在(0、1)上单调递增，求a的取值范围

　 (2)当a>0时，若函数满足y_极小值=1，y_极大值=，试求y=f(x)的解析式

　 (3)当x∈[0，1]时，y=f(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求0≤θ≤时，a的取值范围

例2：设抛物线C₁：y=x²－2x+2与C₂：y=－x²+ax+b在它们同一个交点处的切线互相垂直。

(1)求a、b之间的关系

(2)若a>0，b>0，求ab的最大值

例3：f(x)=ax³+bx²+cx(a>0)的图象关于原点对称，A,B分别为函数的极大值点和极小值点，且|AB|=2，f(α)－f(β)= β－α.

(1) 求b的值　　　　　　　　　　

(2)求f(x)的解析式

(3)求曲线y=f(x)与x²－y²=0的交点,并根据图形结构特点找出区间E=[m、n]使E={f(x)|x∈E}

课后作业

班级_______学号__________姓名_________

1、f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)，则f(x)为增函数的充要条件(　　 )

　　 A　 b²－4ac>0　　　　　 B　 b>0,c>0　　　 C　 b=0,c>0　　　 D　 b²－3ac<0

2、设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相导实根且，则y=f(x)的表达式_________。

3、若曲线C：y=x³－2ax²+2ax上任意点处的切线的倾角都是锐角，那以整数a的值等于_____。

4、已知f(x)=x³－x²+cx+d，若存在x₁、x₂，使a<x₁<x₂<b，且,f(a)>f(x₂)，f(b)>f(x₁)，则f(x)在区间[a、b]上的最大值与最小值分别是(　　 )

　A　 f(a),f(x₁)　　　 B　 f(b),f(x₂)　　　 C f(a),f(b)　　 D　 f(x₁),f(x₂)

5、已知a为实数，f(x)=(x²－4)(x－a)

(1)求导数

(2)求，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值

(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的范围

6、已知f(x)=ax⁵－bx³+c在x=±1处有极大值为4，极小值为0，求a、b、c的值

7、f(x)=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若B坐标(2，0)，且f(x)在[－1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上具有相反的单调性

(1)求C的值　　　　

(2)在函数图象上是否存在一点M(x₀,y₀)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b

(3)求|AC|的取值范围