1、二面角、二面角平面角的定义；

2、两平面垂直的定义；

3、两平面垂直的判定定理；

4、两平面垂直的性质定理．

重点难点

“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”的相互转化．

基础练习

1、已知直线m、n，平面、，且m⊥，n，给出下列命题：①若∥，则

m⊥n；②若m⊥n，则∥；③若⊥，则m∥n；④若m∥n，则⊥．其中正确的命题是(　 )

A．①④　　　　 　 　　 B．①③　　　　　　　 　 C．②③　　　　　　 　 　　 D．③④

2、过平面外两点且垂直平面的平面(　 )

　　 A．有且只有一个　　　　　　　　　　　　　　 B．有一个或两个

C．有且仅有两个　　　　　　　　　　　　　　 D．一个或无数个

3、已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连结PB、PC、PD、AC、BD，则互相垂直的平面有__________对．

4、两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是__________________　　　 ____．

例题讲解

例1、在三棱锥A－BCD中，AB=3，AC=AD=2，且∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，

求证：平面BCD⊥平面ADC．

例2、如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁，CD的中点.

求证：平面AED⊥平面A₁FD₁．

例3、已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，E是点A在平面PBC内的射影，

(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．

　

课后作业

班级_______学号__________姓名_________

1、平面⊥平面，∩=，点P∈，点Q∈，那么PQ⊥是PQ⊥的(　 )

A．充分但不必要条件　　　　　　　　　　　 B．必要但不充分条件

C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

2、已知平面PAB、PBC、PAC两两互相垂直，点P在面ABC上的射影为O，则O是△ABC的(　 )

　　　 A．内心　　　　　　　 B．外心　　　　　　　 C．垂心　　　　　　　 D．重心

3、若、m是互相不垂直的异面直线，平面、分别过、m，则下列关系中不可能成立的是(　 )

　　　 A．∥　　　 B．∥且m∥　　　 C．⊥　　　 D．⊥且m⊥　

4、在直二面角－－中，A∈，B∈，AB=2，AB与、所成角分别为30°和45°，则点A、B在上的射影A′，B′间的距离是________　 __．

5、在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿BD将该矩形折成直二面角，那么折后A、C两点间的距离为__________．

6、在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中点，求证：平面BDE⊥平面A₁BD．

　

7、如图S为△ABC所在平面外一点SA=SB=SC，且∠ABC=90°，

求证：平面SAC⊥平面ABC．

　

8、在三棱锥P－ABC中，PB=PC，AB=AC，点D为BC中点，AH⊥PD于H点，连BH，

求证：平面ABH⊥平面PBC．

　

高三数学教学案　　　　 　　 　第九章　 立体几何

　第八课时　　 平面与平面垂直(二)

目标要求

熟练掌握面面垂直的有关知识，并能综合运用有关知识解决问题．

基础练习

1、对于直线m、n和平面、，⊥的一个充分条件是　　　　　　 (　 )

　　 A．m⊥n，m∥，n∥　　　　 B．m⊥n，∩=m，n

C．m∥n，n⊥，m　　　　　　　　 D．m∥n，m⊥，n⊥

2、设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“XZ且YZ X// Y”　　 为真命题的是______　　　 __．

　　　 ①X、Y、Z是直线；　　　　　 ②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面；　　 ④X、Y、Z是平面.

3、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，

底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满

足_______　　　　　 __时，平面MBD⊥平面PCD．

(只需写出一种情形)

例题讲解

例1、如图，ABCD是边长为的菱形，∠A=60°，PC⊥平面ABCD，PC=，E是PA的中点，(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD；(2)求E到平面PBC的距离．

　

例2、正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长为，侧棱长为．若经过对角线AB₁且与对角线BC₁平行的平面交上底面于DB₁.　 　(1)试确定点D的位置，并加以证明；

(2)求证：平面AB₁D⊥平面ACC₁A₁．

　

例3、如图，ABCD是正方形，E、F分别是AD、BC上的点，EF∥AB，EF交AC于点O，以EF为棱把它折成直二面角A－EF－D后，求证：不论EF怎样移动，∠AOC是定值．

　

课后作业

班级_______学号__________姓名_________

1、若直线、m与平面、、满足：∩=，∥，m，m⊥，则有(　 )

A．⊥，⊥m　　　　　　　　　　　　　 B．⊥，m∥　　

C．m∥，⊥m 　　　　　　　　　　　　　 D．∥，⊥

2、若平面⊥平面，直线n，直线m，m⊥n，则　　　　　　 (　 )

　　 A．n⊥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．n⊥且m⊥

C．m⊥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．n⊥与m⊥中至少有一个成立

3、三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P点到三个平面的距离分别是3，4，5，则OP的长为___________．

4、若有平面与，∩=，⊥，P∈，P，则下列命题中，真命题有_______个．

①过点P且垂直于的直线平行于；　　 ②过点P且垂直于的平面垂直于；

③过点P且垂直于的直线在内；　　　 ④过点P且垂直于的直线在内．

5、矩形ABCD，ABEF所在平面互相垂直，且AB=4，AD=2，AF=3，∠AED=，∠EDC=，则=__________

6、若V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC，

求证：△ABC是直角三角形．

　

7、ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，底面边长为，D、E分别是BB₁、CC₁上的点，BD=，EC=．(1)求证：平面ADE⊥平面ACC₁A₁；(2)求截面△ADE的面积．

　

8、如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

(1)求证：AD⊥PB；　　

(2)设E为BC边的中点，F为PC中点，求证：平面DEF⊥平面ABCD．

　

高三数学教学案　　　　 　　 　　第九章 立体几何

　第九课时　　 异面直线所成的角

考纲摘录

掌握空间两条直线所成角的概念．

知识概要

1、异面直线所成角的定义，异面直线所成角的范围；

2、求异面直线所成角的大小，一般方法是通过平移直线，把异面直线问题化为共面问题解决．

重点难点

如何平移，从而转化为相交直线所成角并能求出该角．

基础练习

1、已知异面直线，所成的角为60°，P为空间一定点，则过点P且与，所成角都是60°的直线有且仅有　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

　　 A．1条　　　　　　　　 B．2条　　　　　　　　 C．3条　　　　　　　　 D．4条

2、棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁和BB₁的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

3、在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则AD，BC所成角为_________．

4、已知、是两条异面直线，AB是其公垂线，垂足分别是A、B，M∈，N∈，AB=4，AM=3，BN=2，MN=，则与所成的角为_________．

例题讲解

例1、如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠ABD=30°，AC=BC，求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

　

例2、如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长为8，对角线B₁C=10，D为AC中点，

(1)求证：AB₁∥平面C₁BD；(2)求异面直线AB₁与BC₁所成的角．

　

例3、如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，

(1)B₁D₁与A₁D能否垂直？请证明你的判断．

(2)当∠A₁B₁C₁在上变化时，求异面直线AC₁与A₁B₁所成角的取值范围．

　

课后作业

班级_______学号__________姓名_________

1、在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，表面的对角线中与AD₁成60°角的有_______条．

2、已知空间四边形ABCD中，AC、BD成60°角，且AC=4，BD=，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的面积为__________．

3、长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知BB₁=BC=1，AB=，则异面直线DB₁与BC₁所成角为___________．

4、在正三棱锥A－BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设EF与AC所成的角为，EF与BD所成的角为，则+等于(　　 )

　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

5、在正四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点， 求：(1)异面直线EF与AC所成角的大小；　 　(2)异面直线AF与DE所成角的大小．

　

6、如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3，E、F分别是另外两条对边AD、BC上的点，且AE：ED = BF：FC=1：2，EF=，求AB和CD所成角的大小.

　

7、如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E、H分别是A₁B₁和BB₁的中点，求：(1)EH与AD₁所成的角；(2)AC₁与B₁C所成的角．

　

8、如图，正方形ACC₁A₁与等腰直角△ACB所在平面互相垂直，且AC=BC=2，E、F、G分别是线段AB、BC、AA₁的中点．

(1)判断直线C₁B与平面EFG的位置关系，并说明理由；

(2)求异面直线AC₁与GF所成角的大小．

　

高三数学教学案　　　　 　　 　　第九章 立体几何

　第十课时　　 直线与平面所成的角

考纲摘录

掌握直线与平面所成角的概念．

知识概要

1、斜线与平面所成角的定义，空间直线与平面所成角的范围；

2、求直线与平面所成角的关键是作垂直，找射影．

重点难点

如何作垂直定射影，以而构成直角三角形，并能够求出角．

基础练习

1、两条直线，与平面所成的角相等，则，的位置关系是(　 )

　　　 A．平行　　　　　　　 B．相交　　　　　　　 C．异面　　　　　　　 D．以上均可能

2、若线段AB夹在两个互相垂直的平面、间，AB与成角，AB与成角，则+的值的范围(　 )

　　　 A．0°＜+≤90°　　　　 B．0°＜+＜ 90°

C．90°≤+＜180°　　　 D．以上都不对

3、∠AOB在平面内，OC是的斜线，OB为OC在平面内的射影，若∠COA=，∠COB=₁，∠BOA=₂，则三者之间满足的关系式是___________．

4、已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为AD的中点，则ED₁与平面AA₁C₁C所成的角的正弦值是_________．

例题讲解

例1、如图，在正方体AC₁中，(1)求BC₁与平面ACC₁A₁所成的角；　 (2)求A₁B₁与平面A₁C₁B所成的角．

例2、已知二面角－－为60°，上有两点A、B，线段AC，BD分别在面、内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=4，AC=6，BD=8，

(1)求CD的长；　 　　　 (2)求异面直线CD与AB所成的角；

(3)求CD与平面所成的角．

　

例3、在四面体S－ABC中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求(1)BC与平面SAB所成角；　 (2)SC与平面ABC所成角．

　

课后作业

班级_______学号__________姓名_________

1、在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，A₁B与平面BB₁D₁D所成角的大小是_________．

2、有一个三角尺ABC,∠A=30°,∠C=90°,BC贴于桌面上，当三角尺与桌面成45°角时，AB边与桌面所成角的正弦值是__________．

3、已知一个平面与一个正方体的十二条棱所成的角均为，则___________．

4、平面的斜线与所成的角为30°，则此斜线和内所有不过斜足的直线所成角的最大值是(　　 )

　　 A．30°　　　　　　　 B．60°　　　　　　　 C．90°　　　　　　　 D．150°

5、在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，则CE与平面BCD所成角的正弦值为__________．

6、已知平面与所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角为30°，则这样的直线有且仅有(　 )

A．1条　　　　　　　　 B．2条　　　　　　　　 C．3条　　　　　　　　 D．4条

7、已知∠BOC在平面内，OA是的斜线，若∠AOB=AOC=60°，OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角．

7、在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，

C₁B₁⊥AB．(1)求证：平面CA₁B⊥A₁AB；(2)若C₁B₁=3，AB=4，∠ABB₁=60°，求AC₁与平面BCC₁所成角的大小．

8、如右图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，　　 (1)求证：OD∥平面PAB；

(2)求直线OD与平面PBC所成角的大小．

　

高三数学教学案　　　　 　　 　　第九章 立体几何

　第十一课时 二面角(一)

考纲摘录

掌握平面与平面所成角的概念，能正确画出两个平面位置关系的图形，并能运用二面

角及其平面角的概念进行计算和证明．

知识概要

1、二面角，二面角的平面角的定义；

2、二面角的平面角的三种作法；

3、求二面角大小时一般按“一作，二证，三计算”步骤进行．

重点难点

重点是在具体问题中如何作出平面角，并能求出该角，比较困难的是求没有给出的棱的二面角大小．

基础练习

1、从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B－PA－C的余弦值是　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

2、已知二面角－－为60°，若平面内有一点A到平面的距离为，那么A在平面上的射影A₁到平面的距离为　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　 C．　　　　 D．

3、锐二面角－－中，AB，AB与成45°角，与成30°角，则二面角的大小为__________．

4、若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积的比等于，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角的大小为_________．

例题讲解

例1、正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为a，P，Q，R分别

为棱AA₁，AB，BC的中点，　 (1)求证：∠PQR为钝角；

(2)求二面角P－QR－A的正弦值．

例2、在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面三角形ABC为等腰直角三角形且∠ABC=90°，E为C₁C的中点，F在BB₁上，且BF=BB₁，BB₁=BC，求平面EFA与面ABC所成角的大小．

例3、已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC，A₁在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA₁与底面ABC所成的角为60°，(1)求证：BC⊥平面AA₁C₁C；

(2)求二面角B－AA₁－C的大小．

课后作业

班级_______学号__________姓名_________

1、在正四棱锥中相邻两侧面所成的二面角一定是　　　 (　　 )

　　　 A．锐角　　　　　　　 B．直角　　　　　　　 C．钝角　　　　　　　 D．均有可能

2、在二面角－－内，过作一个半平面， 使二面角 －－ 的大小为

45°，二面角－－的大小为30°，则内任一点P到平面与平面的距离之比为　 　　　 (　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．　　　

3、正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，二面角B₁－AA₁－C₁的大小为____________，二面角B－A₁C－A的大小为________．

4、已知直角△ABC的斜边AB在平面内，AC、BC分别与成30°、45°角，则与△ABC所在平面所成的二面角的度数为________．

5、如图，过正方形ABCD的顶点A引PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小为__________．

6、在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=AB，这时二面角B－AD－C的大小为_________．

7、在四面体ABCD中，BD=，其余各棱长均为，求二面角A－BD－C，

A－BC－D，B－AC－D的大小．

8、如图，斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB=BB₁，BB₁与底面成60°角，侧面A₁B⊥底面ABC，△ABC是正三角形．

(1)证明：AB⊥B₁C；

(2)证明：B₁C⊥平面ABC₁；

(3)求二面角B₁－AC－B的大小．