1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;
3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.
1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法:
①若 = +(n-1)d= +(n-k)d ,则为等差数列;
②若 ,则为等比数列。
(3)中项公式法:验证中项公式成立。
2. 在等差数列中,有关的最值问题--常用邻项变号法求解:
(1)当>0,d<0时,满足的项数m使得取最大值.
(2)当<0,d>0时,满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
1.证明数列是等差或等比数列常用定义,即通过证明 或而得。
2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3.注意与之间关系的转化。如:= , =.
4.数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路.
5.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.
[问题1]等差、等比数列的项与和特征问题P49 例1 3。P50 例2 P56 例1 P59 T6.
[注1]文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题
例(四川卷)数列的前项和记为(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)等差数列的各项为正,其前项和为,且,又成等比数列,求
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分12分。
解:(Ⅰ)由可得,两式相减得
又 ∴ 故是首项为,公比为得等比数列 ∴
(Ⅱ)设的公比为 由得,可得,可得
故可设 又
由题意可得 解得
∵等差数列的各项为正,∴ ∴ ∴
1.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式
2.(上海卷)设数列的前项和为,且对任意正整数,。(1)求数列的通项公式?(2)设数列的前项和为,对数列,从第几项起?
.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.
当n≥2时, an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)= an-1-an ∴= an=2048()n-1.
(2) ∵log2an=log2[2048()n-1]=12-n, ∴Tn=(-n2+23n).
由Tn<-509,解得n>,而n是正整数,于是,n≥46. ∴从第46项起Tn<-509.
3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项,前n项和为,且。(Ⅰ)求的通项;(Ⅱ)求的前n项和。
解:(Ⅰ)由 得
即
可得
因为,所以 解得,因而
(Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列,故
则数列的前n项和
前两式相减,得
即
[问题2]等差、等比数列的判定问题.P53 T7 例P54 T9
[例]P54 T9(上海卷)已知有穷数列共有2项(整数≥2),首项=2.设该数列的前项和为,且=+2(=1,2,┅,2-1),其中常数>1.
(1)求证:数列是等比数列;(2)若=2,数列满足=(=1,2,┅,2),求数列的通项公式;
(3)若(2)中的数列满足不等式|-|+|-|+┅+|-|+|-|≤4,求的值.
(1) [证明] 当n=1时,a2=2a,则=a;
2≤n≤2k-1时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2,
an+1-an=(a-1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列.
(2) 解:由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
(3)设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<;
当n≥k+1时, bn>.
原式=(-b1)+(-b2)+…+(-bk)+(bk+1-)+…+(b2k-)
=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)
==.
当≤4,得k2-8k+4≤0, 4-2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
4.[例],已知数列中,是其前项和,并且,⑴设数列,求证:数列是等比数列;⑵设数列,求证:数列是等差数列;⑶求数列的通项公式及前项和。
分析:由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关,{a}中又有S=4a+2,可由S-S作切入点探索解题的途径.
[注2]本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.
解:(1)由S=4a,S=4a+2,两式相减,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a.(根据b的构造,如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b ①
已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 ②
由①和②得,数列{b}是首项为3,公比为2的等比数列,故b=3.2.
当n≥2时,S=4a+2=2(3n-4)+2;当n=1时,S=a=1也适合上式.
综上可知,所求的求和公式为S=2(3n-4)+2.
说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。
2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用.
[问题3]函数与数列的综合题 P51 例3
数列是一特殊的函数,其定义域为正整数集,且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响,分析题目特征,探寻解题切入点.
P51 例3已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。(Ⅰ)、求数列的通项公式;(Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;
点评:本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。
解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
5.设,定义,其中n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;(2)若,
解:(1)=2,,,
∴
∴,∴数列{an}上首项为,公比为的等比数列,
(2)
两式相减得:
6.(湖北卷)设数列的前n项和为,点均在函数y=3x-2的图像上。
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。
本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题能力和推理能力。
解:(I)依题意得,即。
当n≥2时,a;
当n=1时,×-2×1-1-6×1-5
所以。
(II)由(I)得,
故=。
因此,使得﹤成立的m必须满足≤,即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。
[问题4]数列与解析几何
数列与解析几何综合题,是今后高考命题的重点内容之一,求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质,并结合图形求解.
例3.在直角坐标平面上有一点列,对一切正整数,点位于函数的图象上,且的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列.
⑴求点的坐标;子⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线的顶点为,且过点,记与抛物线相切于的直线的斜率为,求:.
解:(1)
(2)的对称轴垂直于轴,且顶点为.设的方程为:
把代入上式,得,的方程为:。
,
=
点评:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大。(1)、(2)两问运用几何知识算出.
7.已知抛物线,过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点,又过点作斜率为的直线交抛物线于点,再过作斜率为的直线交抛物线于点,,如此继续,一般地,过点作斜率为的直线交抛物线于点,设点.
(Ⅰ)令,求证:数列是等比数列.并求数列的前项和为
解:(1)因为、在抛物线上,故①②,又因为直线的斜率为,即,①②代入可得, 故是以
为公比的等比数列;,
[问题5]数列与算法
8. 数列的前项和为=n2+2n-1,试用程序框图
表示数列通项的过程,并写出数列的前5项和通项公式.
9.根据流程图,(1)求;(2)若,求n.
[问题6]数列创新题
10.(安徽卷)数列的前项和为,已知
(Ⅰ)写出与的递推关系式,并求关于的表达式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和。
解:由得:,即,所以,对成立。
由,,…,相加得:,又,所以,当时,也成立。
(Ⅱ)由,得。
而,
,
11.(福建卷)已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1时,得到无穷数列:
(Ⅰ)求当a为何值时a4=0;(Ⅱ)设数列{bn}满足b1=-1, bn+1=,求证a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an};
(I)解法一:
故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}
12. (全国卷III) 在等差数列中,公差的等比中项.
已知数列成等比数列,求数列的通项
解:由题意得:……………1分
即…………3分
又…………4分
又成等比数列,
∴该数列的公比为,………6分
所以………8分
又……………………………………10分
所以数列的通项为……………………………12分
课后训练:
1.如果-1,a, b,c,-9成等比数列,那么
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
2.在等差数列{a}中,已知a=2,a+a=13,则a+a+a等于
A.40 B.42 C.43 D.45
3.(06广东卷)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
4.若互不相等的实数成等差数列,成等比数列,且,则
A.4 B.2 C.-2 D.-4
5.(06江西卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=( )
A.100 B. 101 C.200 D.201
6.(文科做)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
A. B. C. D.
7.已知数列满足,则= ( )
A.0 B. C. D.
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=
A. B. C. D.
9.已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )
A.18 B.27 C.36 D.45
10.已知数列、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且,.设(),则数列的前10项和等于( )
A.55 B.70 C.85 D.100
11.设为等差数列的前n项和,=14,S10-=30,则S9= .
12.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.
13. 已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且0<logm(ab)<1,则m的取值范围是________ _
14. 等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为_________
15.设等比数列的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为 .
16 已知正项数列,其前项和满足且成等比数列,求数列的通项
17.(文科做)(06福建)已知数列满足
(I)证明:数列是等比数列; (II)求数列的通项公式;
(II)若数列满足证明是等差数
18.(山东卷)已知数列{}中,在直线y=x上,其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出.若不存在,则说明理由。
答案与点拨:
1 B 解:由等比数列的性质可得ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9且b与奇数项的符号相同,故b=-3,选B
2 B解:在等差数列中,已知∴ d=3,a5=14,=3a5=42,选B.
3 D解:,故选C.
4 D解:由互不相等的实数成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由可得b=2,所以a=2-d,c=2+d,又成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D
5 A解:依题意,a1+a200=1,故选A
6 (文)C 解:因数列为等比,则,因数列也是等比数列,
则
即,所以,故选择答案C。
7.A 提示:由a1=0,得a2=-
由此可知:数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=-故选A
8 A 解:由等差数列的求和公式可得且
所以,故选A
点评:本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般
9 C 解:在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴ ,则该数列前9项和S9==36,选C
10 C 解:数列、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且,.设(),则数列的前10项和等于=,,∴
=,选C.
11.(文)解:设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意得
,联立解得a1=2,d=1,所以S9=
12. 解:在数列中,若,∴ ,即{}是以为首项,2为公比的等比数列,,所以该数列的通项.
13 (-∞,8) 提示 解出a、b,解对数不等式即可 答案 (-∞,8)
14 a11=29 提示 利用S奇/S偶=得解 答案 第11项a11=29
15.-2 提示:由题意可知q≠1,∴可得2(1-qn)=(1-qn+1)+(1-qn+2),即q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合题意,舍去),∴q=-2.
16 解:13 解 ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3.
17.(I)证明:
是以为首项,2为公比的等比数列。
(II)解:由(I)得
(III)证明:
①
②
②-①,得 即 ③
④
④-③,得 即
是等差数列。
18.(山东卷)已知数列{}中,在直线y=x上,其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出.若不存在,则说明理由。
解:(I)由已知得
又
是以为首项,以为公比的等比数列.
(II)由(I)知,
将以上各式相加得:
(III)解法一:
存在,使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当,即时,数列为等差数列.
解法二:
存在,使数列是等差数列.
由(I)、(II)知,
又
当且仅当时,数列是等差数列.