1．
(人教版P85例2)
如图1，设O是正六边形的中心，分别写出
图中与
、
、
相等的向量。
变式1：
如图1，设O是正六边形的中心，分别写出
图中与
、
共线的向量。
解：
变式2：
如图2，设O是正六边形的中心，分别写出
图中与
的模相等的向量以及方向相同的向量。
解：
2.(人教版第96页例4)
如图，在平行四边形ABCD中，
a ，
b ，
你能用a，b表示向量 
，
吗？
变式1：如图，在五边形ABCDE中，
a ，
b ，
c ，
d ，
试用a ，b
， c ， d表示向量
和
.
解：
( a + b + d )
( d + a + b +c
)
变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，
a ，
b
则下列各表述是正确的为( )
A．
B．
C．
a
+ b D．
(a
+ b)
正确答案：选D
变式3：已知
=a，
=b,
=c,
=d, 且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A. a+b+c+d=0 B. a－b+c－d=0
C. a+b－c－d=0 D. a－b－c+d=0
正确答案：选A
变式4：在四边形ABCD中，若
，则此四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
正确答案：选C
变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的 ( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
正确答案：选C
变式6：在四边形ABCD中，
=a+2b，
=－4a－b，
=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形
[解析] ∵
=
=－8a－2b=2，∴
.
∴四边形ABCD为梯形.
正确答案：选C
变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则
等于( )
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈(0,
)
C.λ(－),λ∈(0,1) D.λ(
),λ∈(0,)
[解析] 由向量的运算法则
=+，而点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||,∴=λ(+),λ∈(0,1).
正确答案：选 A
变式8：已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=
，
=
，=
,则下列各式： ①
=
－
②
= +
③
=－ +
④++=
其中正确的等式的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
正确答案：选B
3．(人教版第98页例6)
如图，已知任意两个非零向量a 、b
，试作a + b，a + 2b，
a + 3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
变式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a
、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线．
证明：∵
a + 2b，
2a + 4b，
∴
所以，A、B、C三点共线．
变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且a + b，
a + 2b，
a + 3b
(其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系．
解：
a + b ，
a
+ 2b
由A、B、C三点在同一直线上可设
，
则
所以 
即 
为所求．
4．(人教版第102页第13题)
已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：
变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：
.
证明：如图，连接EB和EC ，
由
和
可得，
(1)
由
和
可得，
(2)
(1)+(2)得， 
(3)
∵E、F分别为AD和BC的中点，∴
，
，
代入(3)式得，
2.(人教版第109页例6)
已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b ，求 y ．
变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为( )
A．
B．
C．
或
D．
或
正确答案：选C
变式2：已知a
，b
，当a+2b与2a－b共线时，
值为
( )
A．1
B．2 C．
D．
正确答案：选D
变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与
方向相反的单位向量是(
)
A．(0,1) B．(0,－1) C． (－1,1) D．(1,－1)
正确答案：选A
变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k为何实数时， ka－b与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？
解：因为 ka－b 
，a+3b
．
由已知得，
解得 
，
此时，ka－b 
，a+3b，二者方向相反．
2.(人教版第110页例8)
设点P是线段
上的一点，
、
的坐标分别为
，
．
(1) 当点P是线段上的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段的一个三等分点时，求P的坐标
变式1：已知两点
，
，
，则P点坐标是 ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：选B
变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，
若
＝a，
＝b，则
＝ 
，
＝ 
(用a、b表示)
5．(人教版第116页例3)
已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为
，求 (a + 2b).(a
b) ．
变式1：已知
那么与夹角为
A、
B、
C、
D、
正确答案：选C
变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则(2a – b).a等于
(A)15 (B)12 (C)6 (D)3
正确答案：选B
变式3：在△ABC中，已知||=4，||=1，S△ABC=
，则.等于(
)
A.－2 B.2 C.±2 D.±4
正确答案：选C
变式4：设向量
与向量
的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：∵
，故
，
解之
．
另有
，解之
，
∴
．
2.(人教版第116页例4)
已知|a|＝3，|b| ＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a + kb 与a
b互相垂直？
变式1：已知a⊥b ，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b与ka
b互相垂直，则k的值为( )
A．
B．
C．
D．1
正确答案：选B
变式2：已知|a|＝1，|b|
＝
且(a－b)⊥a，则a与b夹角的大小为 45º ．
解：
2.(人教版第119页 第11题)
已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标．
变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是 ( )
A．3i+2j B．－2i+3j C．－3i+2j D．2i－3j
正确答案：选C
变式2：已知向量
，
，若
与
垂直，则实数
=( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
正确答案：选B
变式3：若非零向量
互相垂直，则下列各式中一定成立的是 ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：选B
变式4：已知向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)， c＝(2，y)且a∥b，a
c．求|b－c|的值．
解：∵
a∥b，∴ 3x+8＝0． ∴x＝
． ∴ b＝(2， )
．
∵ ac， ∴ 6－4y＝0． ∴ y＝． ∴ c＝(2， )．
而b－c ＝(2，)－(2，)＝(0，－
)，
∴ |b－c|＝．
(人教版第118页例5)
已知A (1，2)，B (2，3)，C (
，5)，试判断
的形状，并给出证明．
变式1：
是所在的平面内的一点，且满足
，则 一定为( )
A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
正确答案：选C
变式2：已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若++＝0，
则O是△ABC的( )
A． 重心 B． 垂心 C． 内心 D． 外心
正确答案：选A
变式3：已知
，则△ABC一定是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
正确答案：选B
变式4：四边形
中，
(1)若
，试求与
满足的关系式；
(2)满足(1)的同时又有
，求
的值及四边形的面积。
解：
(1)
则有
化简得：
(2)
又 则 
化简有：
联立
解得
或
则四边形为对角线互相垂直的梯形
当 
此时
当 
此时
(人教版第121页 例1)
题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，
求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
证明：
，
，
，
，
以上各式相加可证．
变式2：已知△ABC中，
，若
，求证：△ABC为正三角形.
证明：
， ∴
， 又∵
， 
，
故
， 知a=b，
同理可知b=c ， 故a=b=c ， 得证．
变式3：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证
.
[证明]
∵E是对角线AC与BD的交点，∴
.
在△OAC中，
，
同理有
.
四式相加可得：.
变式4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：
[证法一] ∵E、F分别为DA、BC的中点.
∴
又∵
=0①
=0②
①+②，得2
=0
∴2
∴
[证法二] 连结EC，EB
∵
，①
②
①+②,得2+0=
，
∴
又∵
③
④
③+④,得
又∵
=0，
∴.