1．集合的含义与表示

(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

2．集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义；

3．集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2007年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：

(1)题型是1个选择题或1个填空题；

(2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；

(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

(4)常用数集及其记法：

非负整数集(或自然数集)，记作N；

正整数集，记作N^*或N₊；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R。

2．集合的包含关系：

(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A)，记作AB(或)；

　 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A　　 B；

(2)简单性质：1)AA；2)A；3)若AB，BC，则AC；4)若集合A是n个元素的集合，则集合A有2ⁿ个子集(其中2ⁿ－1个真子集)；

3．全集与补集：

(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

(2)若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；

(3)简单性质：1)()=A；2)S=，=S。

4．交集与并集：

(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。

(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：

(1)

(2)

(3)

(4)；

(5)(A∩B)=(A)∪(B)，(A∪B)=(A)∩(B)。

题型1：集合的概念

例1．设集合，若，则下列关系正确的是(　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

解：由于中只能取到所有的奇数，而中18为偶数。则。选项为D；

点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。

例2．设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx²+4mx－4＜0对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是(　　 )

A．PQ　　　　　　　　　 B．QP　　　　　　　 C．P=Q　　　　　　　　 D．P∩Q=Q

解：Q={m∈R|mx²+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类：

①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0时，需Δ=(4m)²－4×m×(－4)＜0，解得m＜0。

综合①②知m≤0，

∴Q={m∈R|m≤0}。

答案为A。

点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。

题型2：集合的性质

例3．(2000广东，1)已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是(　　 )

A．15　 　　　　　　　　　 B．16 　　　　　　　　　　 C．3 　　　　　　　　　　　　　 D．4

解：根据子集的计算应有2⁴－1=15(个)。选项为A；

点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。

变式题：同时满足条件：①②若，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。

答案：这样的集合M有8个。

例4．已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。

解：∵；

∴，即＝0，解得

当时，，为A中元素；

当时，

当时，

∴这样的实数x存在，是或。

另法：∵

∴，

∴＝0且

∴或。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。

变式题：已知集合，,,求的值。

解：由可知，

(1)，或(2)

解(1)得，

解(2)得，

又因为当时，与题意不符，

所以，。

题型3：集合的运算

例5．(06全国Ⅱ理，2)已知集合M＝{x|x＜3，N＝{x|log₂x＞1}，则M∩N＝(　 )

A．　　　　 B．{x|0＜x＜3　　　 C．{x|1＜x＜3　　　　　 D．{x|2＜x＜3

解：由对数函数的性质，且2>1，显然由易得。从而。故选项为D。

点评：该题考察了不等式和集合交运算。

例6．(06安徽理，1)设集合，，则等于(　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

解：，，所以，故选B。

点评：该题考察了集合的交、补运算。

题型4：图解法解集合问题

例7．(2003上海春，5)已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是____　　　 _。

解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a≤－2。

点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。

例8．(1996全国理，1)已知全集I＝N^*，集合A＝{x｜x＝2n，n∈N^*}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}，则(　　 )

A．I＝A∪B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．I＝(A)∪B

C．I＝A∪(B　　 )　　　　　　　　　　　　 D．I＝(A)∪(B)

解：方法一：A中元素是非2的倍数的自然数，B中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有C选项正确.

方法二：因A＝{2，4，6，8…}，B＝{4，8，12，16，…}，所以B＝{1，2，3，5，6，7，9…}，所以I＝A∪B，故答案为C.

方法三：因BA，所以()A()B，()A∩(B)＝A，故I＝A∪(A)＝A∪(B)。

方法四：根据题意，我们画出Venn图来解，易知BA，如图：可以清楚看到I=A∪(B)是成立的。

点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。

题型5：集合的应用

例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。

点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？

解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件　　　　　　　　　　　　　　　　　

的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)

+(200÷30)＝146

所以，符合条件的数共有200－146＝54(个)

点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

题型7：集合综合题

例11．(1999上海，17)设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围。

解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。

由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。

因为AB，所以，于是0≤a≤1。

点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

例12．已知{a_n}是等差数列，d为公差且不为0，a₁和d均为实数，它的前n项和记作S_n,设集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)|　x²－y²=1,x,y∈R}。

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：

(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

(2)A∩B至多有一个元素；

(3)当a₁≠0时，一定有A∩B≠。

解：(1)正确；在等差数列{a_n}中，S_n=,则(a₁+a_n),这表明点(a_n,)的坐标适合方程y(x+a₁),于是点(a_n, )均在直线y=x+a₁上。

(2)正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，

当a₁=0时，方程(^*)无解，此时A∩B=；

当a₁≠0时，方程(^*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解。

∴A∩B至多有一个元素。

(3)不正确；取a₁=1，d=1，对一切的x∈N^*，有a_n=a₁+(n－1)d=n>0,　>0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a₁=1≠0 如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x₀,y₀),而x₀=＜0,y₀=＜0，这样的(x₀,y₀)A,产生矛盾，故a₁=1,d=1时A∩B=，所以a₁≠0时，一定有A∩B≠是不正确的。

点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。

变式题：解答下述问题：

(Ⅰ)设集合，,求实数m的取值范围.

　 分析：关键是准确理解　　 的具体意义，首先要从数学意义上解释　 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。

解：

的取值范围是_UM={m|m<-2}.

(解法三)设这是开口向上的抛物线，，则二次函数性质知命题又等价于

注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。

(Ⅱ)已知两个正整数集合A={a₁,a₂,a₃,a₄},

、B.

分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，

(Ⅲ)

　

　 分析：正确理解

　 　 　 要使,

由

当k=0时，方程有解,不合题意；

当①

又由

由②，

由①、②得

∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1

点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。

题型6：课标创新题

例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？

　 解：设集合A={甲站在最左端的位置}，

B={甲站在最右端的位置}，

C={乙站在正中间的位置}，

D={丙站在正中间的位置}，

则集合A、B、C、D的关系如图所示，

∴不同的排法有种.

点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。

例14．A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有　； ②存在常数，使得对任意的，都有

(1)设，证明：

(2)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;

(3)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式。

解：

对任意,,,,所以

对任意的，

，

　 ，

　 所以0<,

令=，

，

所以

反证法：设存在两个使得,。

则由，

得，所以，矛盾，故结论成立。

，

所以

+…

。

点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖。

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、A、∪，∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简(或求解)，一般应考虑先化简(或求解)；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；

② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。

③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1, 所有非空真子集的个数是。

④区分集合中元素的形式：

如；

；

；

；

；

；

。

⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线(面)的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。