直线综合

1. 直线系

(1)平行直线系(为常数，为参数)

(2)过定点直线系或(，为常数，为参数)

(3)与：平行直线系　　 (为参数)

(4)与：垂直的直线系：(为参数)

(5)过直线：，：

交点的直线系：(为参数)(不包含)

2. 对称

P(，)关于点(，)的对称点为：Q(，)

P(，)关于轴的对称点为Q(，)

P(，)关于轴的对称点为Q(，)

P(，)关于的对称点为Q(，)

P(，)关于的对称点为Q(，)

P(，)关于的对称点为Q(，)

P(，)关于的对称点为Q(，)

[典型例题]

[例1] 求点A(，4)关于直线：的对称点。

解：

设A关于的对称点B(，)

　　 ∴ B(，)

[例2] ：，：，求关于对称的直线的方程。

解：

A(0，1)在点，它关于的对称点，B(，)

由两点式　　 ∴ ：

[例3] 光线通过点P(2，3)在直线上反射，反射线过点Q(1，1)，求入射光线、反射光线所在直线方程。

解：

(2，3)点关于直线的对称点，(，)

由两点式：　 交点(，)

由两点式：

[例4] 正中A(1，1)，中心M(5，3)，求三边所在直线方程。

解：

　　 ∴ 　　AM交于BC于D，M分之比

∴ D=(7，4)　 ∴ ：

设AB、AC为：　

∴

[例5] ABC中，A(9，1)，B(3，4)，内心I(4，1)，求C

　 　解：

AI∥轴　 ∴ 　　∴ ：

　 利用三角公式　 ∴ 　　　

∴ ：　　　 ∴ C(，4)

[例6] 已知中，A(，2)B(6，4)垂心H(5，2)，求C

解：

　　 ∴ 不存在　　 ∴ 　　　

∴ 　　∴ ：　 C(6，)

[例7] 已知，A(6，3)，B(，)，C(，)求。

解：

作图，为BC到HC的角　　 ∴ 　　

∴ 　　∴

[例8] 中，AB、BC、CA边的中点为D(，)E(1，3)F(2，0)，求三边所在直线方程。

解：

　　 ∴ ：即

同理：　 ：

[例9] ，A(，)、B(6，)、C(，)，求的角平分线AT所在直线方程。

解：

设斜率为　 　　　　CA到AT的角等于AT到AB的角

　 或(舍，结合图形)　

∴ ：

[例10] 中，A(，)两条中线所在直线方程为，，求BC边所在直线方程。

解：

G(，2)　 G分之比　 ∴ D(，5)

设B(，)　 ∴ C(，)

　　 　　∴ 两点式：

[模拟试题]

1. 直线：，：的交点在第一象限，则的取值范围是(　 　)

A. 　　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　 D.

2. 已知，则的最小值为(　　 )

　　 A. 68　　 B. 69　　 C. 70　　 D. 71

3. 过A(2，)与原点距离最远的直线方程为(　　 )

A. 　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

4. 已知A(3，5)B(2，15)在直线：上，找一点P使最小，则最小值为(　　 )

　　 A. 18　　 B. 　　C. 19　　 D.

5. 已知，的最小值为(　　 )

　　 A. 1 　　B. 2　　 C. 　　D.

6. 两直线：，和：，当(0，2)时，求直线与两坐标轴围成四边形面积的最小值。