直线方程

［知识点］

1. 直线方程两点式：

　　

方程？

　　 解：

　　

　

　　

　　 注意：(1)特殊情况：x＝x₁或y＝y₁不能用两点式表示，即与x轴平行或与x轴垂直的直线不能用两点式表示，故平面上的直线与两点式方程不是一一对应。

　　 (2)两点式变形形式：(y－y₁)(x₂－x₁)＝(y₂－y₁)(x－x₁)

　　 此方程与平面上的直线一一对应。

2. 直线方程的截距式：

　　 公式推导：已知直线与x轴交于A(0，a)与y轴交于B(b，0)，其中(a≠0，b≠0)求直线l的方程。

　　

　　

　　

　　 注意：(1)特殊情况：当a＝0或b＝0时不能用上式，即过原点或与x轴平行或与y轴平行的直线不能用截距式。

　　 (2)截距式是两点式的特殊情况。

3. 直线方程的一般式：

　　

　　 适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可由一般式表示出来。

4. 关于直线方程形式间的互化方法。

[典型例题]

　 例1. 已知直线过点P(-5，-4)，且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l的方程。

　　 解：

　　

　　

　　

　　

　 例2. 如图，已知直线l经过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B。

　　 (1)求三角形AOB面积的最小值及此时直线l的方程。

　　 (2)求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程。

　 　解：(1)法一：设A(0，a)，B(b，0)(a＞0，b＞0)

　　

　　

　　

　　

　　　　　　　　　　　

　　

　　

　 　法二：

　　

　　

　　

　 　法三：

　　 ∵a为实数，∴△≥0

　　

　　

　　

　 　法四：过P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN(M、N为垂足)，并设θ＝∠PAM＝∠BPN

　　

　　　

　　

　　 (2)法一：

　　

　　　　　

　　

　 　法二：

　　　　　　　

　　

　　

　 例3. 已知直线mx+ny+12＝0在x轴、y轴上的截距分别是-3和4，求m，n的值。

　　 分析：(1)将直线方程化成截距式后(或直接)求出直线在两轴上的截距、解关于m，n的方程组。(2)由已知条件，直线经过点A(-3，0)、B(0，4)，由此得m，n的方程组，解之即可。

　　 解法1：由截距意义知，直线经过A(-3，0)和B(0，4)两点，因此有

　　

　　

　　 解法2：将方程mx+ny+12＝0化为截距式，得：

　　

　　

　　

　 例4.

　　 解析：

　　

　　

　　

　 例5.

距离相等。

　　 分析：(1)设P(x，y)，则有y＝3x+1，故点P的坐标为(x，3x+1)，由距离公式得x的方程，解得x＝0。

　　 (2)设P(x，y)，求出两点(1，-1)，(2，0)的中垂线方程为x+y－1＝0，再解方程组得P(0，1)。

　　 解法1：设P(x，y)，则有y＝3x+1

　　 故点P的坐标为(x，3x+1)

　　

　　 解之得：x＝0

　　 ∴所求的点为P(0，1)

　　 解法2：设P(x，y)，两点(1，-1)，(2，0)所连线段的中垂线方程为：

　　

　　

　　 解由<1>、<2>组成的方程组得：P(0，1)

　 例6.

　　 (1)证明直线l过定点；

　　 (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程；

　　 (3)若直线不经过第四象限，求k的取值范围。

　　 分析：(1)证直线系过定点，可用分离参数法。

　　 (2)求△AOB面积S的最小值，应先求出目标函数S＝f(k)，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。

　　 (3)直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2，在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点(-2，1)知斜率大于或等于零。

　　 解：(1)直线l的方程是：

　　

　　

　　 ∴无论k取何值，直线总经过定点(-2，1)

　　 (2)由l的方程，得：

　　

　　

　　 解得：k＞0

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 解之得：k＞0

　　 小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”，也是证明曲线系过定点的一般方法。

　 例7.

　　 分析：利用所求直线上任意一点P关于点A的对称点P’在已知直线上的关系求解。

　　 解：设P(x，y)为所求直线上任一点，则：

　　

　　

　　 ∵线段PP’的中点为A(1，-1)

　　

　　

　　

　　

　　

　　 注意：本题是一个关于点对称的直线的求法问题，要注意利用点对称的特点求解。

　 例8. 一根弹簧挂6公斤的物体时，长11 cm，挂9公斤的物体时，长17 cm。已知弹簧长度l (cm)和所挂物体的重量w(公斤)的关系可以用直线方程来表示。用两点式表示这个方程，并根据这个方程，求弹簧长为13 cm时所挂物体的重量。

　 　解：以Ow为横坐标轴，以Ol为纵坐标轴建立直角坐标系(如图所示)

　　 由题意知直线过点(6，11)和点(9，17)

　　 由直线的两点式方程得所求直线的方程为：

　　

　　

　　 ∴w＝7

　　 即弹簧长为13 cm时所挂物体的重量为7公斤。

　　 小结：因为弹簧长l和所挂物体的重量w的关系可以用直线方程来表示，并且弹簧挂6公斤的物体时，长11 cm；弹簧挂9公斤的物体时，长17 cm。所以直线过点(6，11)和(9，17)。由直线方程的两点式求出l、w关系，得解。

　 例9.

　 　解：

　　

　　

　　

　　

　　

　　 小结：由直线方程的一般式求直线的倾斜角时，须先求其斜率，这时通常把直线方程化成斜截式(若直线没有斜率即y的系数为0，则直线的倾斜角为90°，此时直线方程没有斜截式)，然后根据斜率再求直线的倾斜角。当直线的斜率k≥0时，直线的倾斜角为arctank；当直线的斜率k＜0时，直线的倾斜角为π+arctank。

　 例10.

　　

　 　证明：如图所示，过P(x₁，y₁)作直线垂直于x轴，交直线l于M

　　 设M点的坐标为(x₁，y₂)，则：

　　

　　

　　 ∵P在M的上方

　　

　　

　　

　　 小结：

　　

　　

　　 点P在直线的上方或下方就是指在同横坐标时，P的纵坐标大于或小于直线上的点对应的纵坐标。

[模拟试题]

1. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是(　　 )

　　 A. 　　　　 B. 　　　 C. 　　　　 D.

2. 过点A(4，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是(　　 )

　　 A.

　　 B.

　　 C. 或

　　 D. 或

3. 已知直线的横截距大于纵截距，则A、B、C应满足的条件是(　　 )

　　 A. A＞B　　　　　　　　 B. A＜B

　　 C. 　　　　　　 D.

4. 直线的图象只可能是下图中的(　　 )

5. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是(　　 )

　　 A. 　　　　　 B.

　　 C. 　　　　　 D.

6. 若直线的倾斜角为且过点(1，0)，则直线的方程为________。

7. 由已知条件求下列直线的斜截式方程。

　　 (1)直线经过点；

　　 (2)直线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为。

8. 设直线的方程为，根据下列条件分别确定实数m的值。

　　 (1)在x轴上的截距是；

　　 (2)斜率是1。

9. 过点P(2，1)作直线交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当取最小值时，求直线的方程。

10. 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x轴和y轴上的截距之和为5，求这样的直线的条数。

11. 已知点P(-1，1)、Q(2，2)，直线与线段PQ相交，求实数k的范围。