1．已知全集
，且
，
，则
等于( )
A．
B．
C．
D．
2．等比数列
中，
，则
等于( )
A．
B．
C．
D．
3．
等于( )
A．
B．
C．
D．
4．“
”是“
”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数
的图象( )
A．关于点
对称 B．关于直线
对称
C．关于点
对称 D．关于直线
对称
6．如图，在正方体
中，
分别为
，
，
，
的中点，则异面直线
与
所成的角等于( )
A．
B．
C．
D．
7．已知
为
上的减函数，则满足
的实数
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
8．对于向量
，
，
和实数
，下列命题中真命题是( )
A．若
，则
或
B．若
，则
或
C．若
，则
或
D．若
，则
9．已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．
，
，
，
B．
，，
C．
，
D．
，
10．以双曲线
的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是( )
A．
B．
C．
D．
11．已知对任意实数，有
，
，且
时，
，
，则
时( )
A．， B．，
C．
， D．，
12．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“
”到“
”共
个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“
”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( )
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
13．
的展开式中常数项是_____．(用数字作答)
14．已知实数
满足
则
的取值范围是________．
15．已知长方形
，
，
，则以
为焦点，且过
两点的椭圆的离心率为______．
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合
中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
(1)自反性：对于任意
，都有
-；
(2)对称性：对于
，若-
，则有-；
(3)传递性：对于
，若-，-
，则有-．
则称“-”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出两个等价关系：______．
17．(本小题满分12分)
在
中，
，
．
(Ⅰ)求角
的大小；
(Ⅱ)若边的长为
，求
边的长．
18．(本小题满分12分)
甲、乙两名跳高运动员一次试跳
米高度成功的概率分别是
，
，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(Ⅰ)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(Ⅱ)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
(Ⅲ)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
19．
(本小题满分12分)
如图，正三棱柱
的所有棱长都为，
为
中点．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求二面角
的大小．
20．(本小题满分12分)
设函数
．
(Ⅰ)求的最小值
；
(Ⅱ)若
对
恒成立，求实数
的取值范围．
21．(本小题满分12分)
数列的前
项和为
，
，
．
(Ⅰ)求数列的通项
；
(Ⅱ)求数列
的前项和
．
22．(本小题满分14分)
如图，已知
，直线
，
为平面上的动点，过点作
的垂线，垂足为点
，且
．
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ)过点
的直线交轨迹于两点，交直线于点
．
(1)已知
，
，求
的值；
(2)求
的最小值．
高中数学毕业招生全国统一考试 第Ⅰ卷(选择题 共60分)参考答案
参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B
7．D 8．B 9．D 10．B 11．B 12．C
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13．
14．
15．
16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力．满分12分．
解：(Ⅰ)
，
．
又
，
．
(Ⅱ)由
且
，
得
．
，
．
18．本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．满分12分．
解：记“甲第
次试跳成功”为事件
，“乙第次试跳成功”为事件
，依题意得
，
，且，(
)相互独立．
(Ⅰ)“甲第三次试跳才成功”为事件
，且三次试跳相互独立，
．
答：甲第三次试跳才成功的概率为
．
(Ⅱ)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件．
解法一：
，且
，
，
彼此互斥，
．
解法二：
．
答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为
．
(Ⅲ)设“甲在两次试跳中成功次”为事件
，
“乙在两次试跳中成功次”为事件
，
事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为
，且
，
为互斥事件，
所求的概率为
答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为
．
19．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解法一：(Ⅰ)取中点
，连结
．
为正三角形，
．
正三棱柱中，平面
平面
，
平面．
连结
，在正方形
中，
分别为
的中点，
，
．
在正方形
中，
，
平面．
(Ⅱ)设
与
交于点
，在平面中，
作
于，连结
，由(Ⅰ)得平面．
，
为二面角的平面角．
在
中，由等面积法可求得
，
又
，
．
所以二面角的大小为
．
解法二：(Ⅰ)取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，
平面平面，
平面．
取中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
平面．
(Ⅱ)设平面
的法向量为
．
，
．
，
，
令
得
为平面的一个法向量．
由(Ⅰ)知平面，
为平面的法向量．
，
．
二面角的大小为
．
20．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：(Ⅰ)
，
当
时，取最小值
，
即
．
(Ⅱ)令
，
由
得
，
(不合题意，舍去)．
当
变化时
，
的变化情况如下表：
|
|
 |
|
 |
|
|
 |
|
 |
|
|
递增 |
极大值 |
递减 |
在
内有最大值
．
在内恒成立等价于
在内恒成立，
即等价于
，
所以的取值范围为
．
21．本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．满分12分．
解：(Ⅰ)
，
，
．
又
，
数列
是首项为，公比为
的等比数列，
．
当
时，
，
(Ⅱ)
，
当
时，
；
当时，
，…………①
，………………………②
得：
．
．
又
也满足上式，
．
22．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：(Ⅰ)设点
，则
，由得：
，化简得
．
(Ⅱ)(1)设直线的方程为：
．
设
，
，又
，
联立方程组
，消去得：
，
，
由，得：
，
，整理得：
，
，
．
解法二：(Ⅰ)由得：
，
，
，
．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：
．
(Ⅱ)(1)由已知，，得
．
则：
．…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为
，
，
则有：
．…………②
由①②得：
，即
．
(Ⅱ)(2)解：由解法一，
．
当且仅当
，即
时等号成立，所以最小值为．