高中数学新题型选编参考答案

参考答案:

1　 解析　 由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2)　

直线AC所在方程为x－3y+2=0,

点B到该直线的距离为d=　

∵m∈(1,4),∴当时，S_△ABC有最大值，此时m=　

答案　 B

2　 解析　 考虑式子的几何意义，转化为求圆x²+y²=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值　

答案　 C

3　 解析　 设椭圆方程为=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆　 x²－ax+y²=0,两式联立消y得x²－ax+b²=0　 即e²x²－ax+b²=0,该方程有一解x₂,一解为a,由韦达定理x₂=－a,0＜x₂＜a，即0＜－a＜a＜e＜1　

答案　 ＜e＜1

4　 解析　 由题意可设抛物线方程为x²=－ay,

当x=时，y=－；当x=0　 8时，y=－　

由题意知≥3,即a²－12a－2　 56≥0　 解得a的最小整数为13　

答案　 13

5　 解析　 设P(t,t²－1)，Q(s,s²－1)

∵BP⊥PQ,∴=－1,

即t²+(s－1)t－s+1=0

∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)²+4(s－1)≥0　 即s²+2s－3≥0,

解得s≤－3或s≥1　

答案　 (－∞,－3∪1,+∞)

6　 解　 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)　

由,得(1－k²)x²+2kx－2=0,

又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点，

故有

解得－＜k＜－1

7　 解　 由抛物线y²=4x,得焦点F(1,0),准线l　 x=－1　

(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)²+(2y)²=2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y²=x－1(x＞1)　

(2)设Q(x,y),则

|MQ|=　

(ⅰ)当m－≤1,即m≤时，函数t=[x－(m－)²]+m－在(1，+∞)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值　

(ⅱ)当m－＞1,即m＞时，函数t=[x²－(m－)²]+m－在x=m－处有最小值m－,∴|MQ|_min=　

8　 解　 (1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4　

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆　

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1　

∴曲线C的方程为+y²=1　

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

代入+y²=1,得(1+5k²)x²+20kx+15=0　

Δ=(20k)²－4×15(1+5k²)＞0,得k²＞　

由图可知=λ

由韦达定理得

将x₁=λx₂代入得

两式相除得

　　　　 ①

M在D、N中间，∴λ＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

又∵当k不存在时，显然λ=　(此时直线l与y轴重合)　

课前后备注 　

学法指导　 怎样学好圆锥曲线

圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合　 借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始　

高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有　 为此需要我们做到　

1　 重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质　 这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容　

2　 重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大　 所以要掌握住一般方法　 定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等　

3　 加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习　 此处一直为高考的热点　 这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决　 这样加强了对数学各种能力的考查　

4　 重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程　

(1)方程思想

解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量　

(2)用好函数思想方法

对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效　

(3)掌握坐标法

坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法　 近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练