1. 给出直线的方向向量或,等于已知直线的斜率或;
2. 给出与相交,等于已知过的中点;
3. 给出,等于已知是的中点;
4. 给出,等于已知与的中点三点共线;
5. 给出以下情形之一
①,
②存在实数
③若存在实数,等于已知三点共线.
6. 给出,等于已知是的定比分点,为定比,即
7. 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,
8. 给出,等于已知是的平分线/
9. 在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;
10. 在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;
11. 在中,给出,等于已知是的外心;
12. 在中,给出,等于已知是的重心;
13. 在中,给出,等于已知是的垂心;
14. 在中,给出等于已知通过的内心;
15. 在中,给出等于已知是的内心;
16. 在中,给出,等于已知是中边的中线;
17. 给出,等于已知的面积
[例1](2005年.辽宁卷21)
已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足
(Ⅰ)设为点P的横坐标,证明;
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;
(Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.
解 : (Ⅰ)证法一:设点P的坐标为
由P在椭圆上,得
由,所以
证法二:设点P的坐标为记
则
由
证法三:设点P的坐标为椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得,即
由,所以
(Ⅱ)解法一:设点T的坐标为
当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.
当|时,由,得.
又,所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中,,所以有
综上所述,点T的轨迹C的方程是
解法二:设点T的坐标为
当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.
当|时,由,得.
又,所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为(),
则
因此 ①
由得 ②
将①代入②,可得
综上所述,点T的轨迹C的方程是
|
由③得,由④得 所以,当时,存在点M,使S=;
当时,不存在满足条件的点M.
当时,,
由,
,
,得
解法二:C上存在点M()使S=的充要条件是
|
由④得 上式代入③得
于是,当时,存在点M,使S=;
当时,不存在满足条件的点M.
当时,记,
由知,则
[例2](2005年.重庆卷.理21)
已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点),求k的取值范围.
解:(Ⅰ)设双曲线C2的方程为,则
故C2的方程为
(Ⅱ)将代入得
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 ①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
[例3](2005年.全国卷Ⅰ.理21文22)
已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线.
(I)求椭圆的离心率;
(II)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值.
解:(I)设椭圆方程为
则直线AB的方程为
化简得.
令
则
共线,得
(II)证明:由(I)知,所以椭圆可化为.
在椭圆上,
即 ①
由(I)知
又又,代入①得
故为定值,定值为1.