1.设集合,,则为
A. B. C. D.
2.复数,,则
A. B. C. D.
3.一个田径队,有男运动员30人,女运动员20人,比赛后,立即用分层抽样的方法,从全体队员中抽出一个容量为10的样本进行尿样兴奋剂检查,其中男运动员应抽
A.3人 B.4人 C.5人 D.6人
4.要得到函数的图象,需将函数的图象
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
5.若随机变量的分布列是:
|
1 |
3 |
5 |
|
0.2 |
0.6 |
|
则其数学期望等于
A.1 B. C. D.3
6.已知的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7.已知函数,且的解集为,则函数的图象大致是
A B C D
8.设、为不同的直线,为平面,且,下列为假命题的是
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
9.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为,乙及格的概率为,丙及格的概率为,三人各自检测一次,则三人中至少一人及格的概率为
A. B. C. D.
10.若把英语单词“hello”的字母顺序写错了,则可能出现的错误的种数是
A.59 B.60 C.119 D.120
11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的,,满足关系式:,则的奇偶性为
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数
12.已知、是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的一点,若的内切圆半径为1,则点P到轴的距离为
A. B. C.3 D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
13.在的展开式中,常数项是 (用数字作答)。
14.函数,的反函数是 。
15.球面上三点A、B、C,AB=AC=BC=3,若球心到截面ABC的距离等于球半径的一半,则球的表面积为 。
16.定义运算*为:*,例如:1*2=1,则函数*的值域为 。
17.(本小题满分12分)
已知向量,。
记函数,若函数 的最小正周期为。
(1)求;
(2)求函数的最大值,并求此时的值。
18.(本小题满分12分)
已知函数的图象与直线相切于点。
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间和极小值。
19.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1=4,AB=5,BC=3,AC=4,D为CC1的中点。
(1)求异面直线AD与A1B1所成角的余弦值;
(2)试在线段AB上找一点E,使得:A1E⊥AD;
(3)求点D到平面B1C1E的距离。
20.(本小题满分12分)
某高速公路指挥部接到通知,24小时后将有一场超历史记录的大暴雨,为确保万无一失,指挥部决定在24小时内筑一道临时堤坝,以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程。经测算,除现有施工人员外,还须调用翻斗车搬运立方米的土方。已知每辆翻斗车每小时可搬运的土方量为,指挥部可调用25辆上述型号的翻斗车,但其中只有一辆可以立即投入施工,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔20分钟有一辆车到达并投入施工。
(1)从第一辆车投入施工算起,第25辆车须多久才能到达?
(2)24小时内能否完成防洪堤坝工程?请说明理由。
21.(本小题满分12分)
已知抛物线的顶点在原点,焦点F在轴上。M为抛物线上的点,M的横坐标为2,且|MF|=3。
(1)求此抛物线的方程;
(2)如图,过轴正半轴上任一点作直线与此抛物线交于A、B两点,点Q是点P关于原点的对称点。点P分有向线段所成的比为。
求证:。
22.(本小题满分14分)
已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为
[-1,0]。
(1)求出符合条件的函数的表达式;
(2)若数列的前项和为,数列的前项和为,试求;
(3)若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?并证明你的结论。
参考解答及评分标准
1.A 2.D 3.D 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.B 10.A 11.A 12.B
13.495 14. 15.16 16.
17.解:∵,
∴………………………2分
………………………4分
………………………6分
(1)∵函数的最小正周期,
∴,∴………………………8分
(2)当时,函数取得最大值,
此时,,解得……………12分
18.解:(1)∵,∴, ……2分
∵函数在处的切线方程为,
∴,∴……………………………………………………5分
(2)∵点在直线上, ∴,∴,
∵在的图象上,∴,
∴…………………………………………7分
由(1)得:,
令,则,因此函数的单调递增区间为(1,+∞),……9分
令,则,因此函数的单调递减区间为(-1,1)
∴当时,函数取得极小值………………………………………12分
19.解:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
(1)∵,
∴(或其补角)为异面直线AD与A1B1所成的角,
………………………2分,连结BD,
在中,∵AC=4,
∴,
在中,∵BC=3,CD=2,∴,
在△ABD中,∵AB=5,
∴异面直线AD与A1B1所成角的余弦值为………………………………4分
(2)证明:∵AB=5,BC=3,AC=4,∴,
∵底面ABC⊥侧面ACC1A1,∴BC⊥侧面ACC1A1,………………………………6分
取AB、AC的中点E、F,连结EF、A1F,则EF//BC,
∴EF⊥平面ACC1A1, ∴A1F为A1E在侧面AC1内的射影,
在正方形C1CAA1内,∵ D、F分别为CC1、AC的中点,
∴≌,∴,
∴,∴,
∴(三垂线定理)………………8分
(3)连结,过D作DH⊥,垂足为H。
∵EF//BC,BC//B1C1,∴EF// B1C1,∴点F在平面B1C1E内。
∵EF⊥平面ACC1A1,平面ACC1A1,EF⊥DH,………………10分
∵,,∴DH⊥平面B1C1E。
在中,∵,∴。……………12分
20.解:(1)设从第一辆车投入施工算起,各车到达时间依此为、、…、,依题意,它们组成一个首项为0,公差为(小时)的等差数列,…………3分
则=+24d,∴=24×=8,
答:第25辆车须8小时后才能到达。………………6分
(2)设从第一辆车投入施工算起,各车的工作时间依次为、、…、,依题意,它们组成一个公差为-(小时)的等差数列,且………………8分
∵每辆车每小时的工作效率为,∴
即,……………………10分
又∵,∴,即,
由于,可见的工作时间可以满足要求,即工程可以在24小时内完成。
答:24小时内能完成防洪堤坝。………………………………………………12分
21.(本小题满分12分)。
(1)解:依题意,可设所求抛物线方程为:
则抛物线的准线方程为:,∴点M(2,y)到准线的距离,……2分
由抛物线定义知:,故,∴,
故所求抛物线方程为:。………………4分
(2)证明:依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得:
,①
设A、B两点的坐标分别是、,则、是方程①的两根,
∵,∴………………6分
由点分有向线段所成的比为得:,即,
又点Q是点关于原点的对称点,故点Q的坐标是,从而,
∵,
∴…………………………………9分
,
∴。………………………………………12分。
22.解:(1),
∵,∴,故当时,。……………………………2分
若,∴,则,∴
若,则,则,∴(舍去)
故……………………………………4分
(2)当时,,
当时,
∴…………………………………………………6分
∴,
∴
∴……………………………………………9分
(3)∵……………………………………………10分
∴,
∵,,…………
,
故当时,,
因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数,
则当时,必有。
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立。……………………14分