高中毕业班数学全国统一考试试题 数学(理工类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 参考公式： .如果事件互斥，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 球的表面积公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .如果事件相互独立，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　 其中表示球的半径 　　　　　　参考答案

数学(理工类)参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1．C　　　　　　　　　　　 2．B　　　　　　　　　　　 3．A　　　　　　　　　　　 4．D　　　　　　　　　　　 5．C　　　　　　　　　　　

6．D　　　　　　　　　　　 7．B　　　　　　　　　　　 8．B　　　　　　　　　　　 9．A　　　　　　　　　　　 10．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．

11．2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13．3　　　　　　　　　　　

14．　　　　　　　　　　　　　　　　　 15．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 16．390

三、解答题

17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

(Ⅰ)解：．

因此，函数的最小正周期为．

(Ⅱ)解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，

故函数在区间上的最大值为，最小值为．

解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：

由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．

18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

(Ⅰ)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．

故取出的4个球均为黑球的概率为．

(Ⅱ)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，

且，．

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．

(Ⅲ)解：可能的取值为．由(Ⅰ)，(Ⅱ)得，，

．从而．

的分布列为

	0	1	2	3

的数学期望．

19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．

(Ⅰ)证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

(Ⅱ)证明：由，，可得．

是的中点，．

由(Ⅰ)知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．

(Ⅲ)解法一：过点作，垂足为，连结．则(Ⅱ)知，平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．设，

可得．

在中，，，

则．

在中，．

所以二面角的大小是．

解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．

过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，设，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．

20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．

(Ⅰ)解：当时，，，

又，．

所以，曲线在点处的切线方程为，

即．

(Ⅱ)解：．

由于，以下分两种情况讨论．

(1)当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：

		0		0
		极小值		极大值

所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．

函数在处取得极小值，且，

函数在处取得极大值，且．

(2)当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：

		0		0
		极大值		极小值

所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且．

21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．

(Ⅰ)解法一：，

，

．

由此可猜想出数列的通项公式为．

以下用数学归纳法证明．

(1)当时，，等式成立．

(2)假设当时等式成立，即，

那么

．

这就是说，当时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何都成立．

解法二：由，，

可得，

所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．

(Ⅱ)解：设，　　　①

　　　　　　　　②

当时，①式减去②式，

得，

．

这时数列的前项和．

当时，．这时数列的前项和．

(Ⅲ)证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

．　　　　③

由知，要使③式成立，只要，

因为

．

所以③式成立．

因此，存在，使得对任意均成立．

22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．

(Ⅰ)证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．

解得，从而得到．

直线的方程为，整理得．

由题设，原点到直线的距离为，即，

将代入上式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为．

过点作，垂足为，易知，故．

由椭圆定义得，又，

所以，

解得，而，得，即．

(Ⅱ)解法一：设点的坐标为．

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．

点的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．将③式和④式代入得，

．

将代入上式，整理得．

当时，直线的方程为，的坐标满足方程组

所以，．

由知，即，

解得．

这时，点的坐标仍满足．

综上，点的轨迹方程为　．

解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．

记(显然)，点的坐标满足方程组

由①式得．　　　　　　③

由②式得．　　　④

将③式代入④式得．

整理得，

于是．　　　⑤

由①式得．　　　⑥

由②式得．　　⑦

将⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是．　　　⑧

由知．将⑤式和⑧式代入得，

．

将代入上式，得．

所以，点的轨迹方程为．