例1.如图,在四棱锥中,,平面,

且,,求点到平面的距离.

解：取的方向分别为的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，.,

设平面的法向量为，.所以可令，点到

平面的距离=.

例2.如图，已知是正方形，平面，，

分别是的中点，求异面直线与之间的距离。

解：以为原点，建立空间直角坐标系，

，，，

，，是异面直线与的公共法向量，则即；即+=0.所以=,所以异面直线与之间的距离．

例3.如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,.侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心.

求与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示);

求点到平面的距离.

　(1)建立如图坐标系,设,则,,,,

　,,则=，

，，则=，,取平面法向量为，则与夹角为与平面所成角的余角.所以cos, 所以与平面所成角为.

(2)由(1)知,设平面的法向量为,,即,即,所以令法向量.所以点到平面的距离为.

例4.过正方形的顶点A，引，若，

则平面与平面所成的二面角的大小．

解：以为原点，分别为轴轴,轴建立空间直角坐标系如图。

则，　， , ,则，.设平面PCD的法向量为,,即；，即．所以可令；设平面PAB的法向量为，所以平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为．所以平面与平面所成的二面角的平面角为．

既然可以利用两个平面的法向量求两平面的夹角，也可以利用两个平面法向量证明两平面垂直．如下面的例5．可以先求两平面的法向量，再计算它们的数量积．

例5.如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，分别为棱的中点.

求证：平面平面　　　　　　　　　　　　　　

解：以为原点，分别

为建立空间直角坐标系，则，　，

,,

设平面EF的法向量为，

则=0；即.所以令=

设平面的法向量为=,,即4=0; ,即.所以可令．　＝0

平面平面.