如右图所示,a、b是两异面直线,是 a E
a和b 的法向量,点E∈a,F∈b,则
异面直线 a与b之间的距离是
b F
例1、如下图,正四棱锥S-ABCD的高SO=2,底边长,求异面直线BD和SC之间的距离.
分析:建立如图所示的直角坐标系,则
,,
,,.,
.令向量,且,则,,,,.异面直线BD和SC之间的距离为:
.
例2、如下图,正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为2,M、N分别为AA1,BB1的中点,
求(1)CM与D1N的余弦值;
(2)异面直线CM与D1N的距离。(2004年广州调研试题)
分析(2):建立如图所示右手直角坐标系,则C(0,2,0)、D1(0,0,2)、M(2,0,1)、N(2,2,1)
, D1 C1
设法向量 A1 B1
则 2x-2y+z=0 x=0 M D N C
2x+2y-z=0 z=2y A B
令y=1得,依公式得异面直线CM与D1N的距离是
如右图所示,已知AB是平面α的
一条斜线,为平面α的法向量,则 C B
A到平面α的距离为 α
例3、已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离。
分析:建立如图所示右手直角坐标系, G
则E(4,-2,0),F(2,-4,0), E D C
G(0,0,2),B(4,0,0), A F B
=(0,-2,0),=(-4,2,2),=(-2,4,2),设平面EFG的法向量=(x,y,z),则由,得
-4x+2y+2z=0 x=
-2x+4y+2z=0 y=
不妨设z=3,则=(1,-1,3),所以依公式可得所求距离为
首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
例4、已知边长为的正三角形ABC中,E、F分别为BC和AC的中点,PA⊥面ABC,且PA=2,设平面α过PF且与AE平行,求AE与平面α间的距离。
分析:因为AE∥平面α,所以将AE与平面α的距离转化成点A到平面α的距离,建立如图右手直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,2),
E(,0,0),F(,,0), P
,, A F
,设法向量=(x,y,z), B E C
则由,得,
x=0
不妨设防z=1,则=(0,,1),所以依公式可得所求距离为
首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在一个平面上任取一点,将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
例5、 棱长为的正方体中.求证:平面AB1C∥平面;
(1) 求平面与平面间的距离.
分析(2):建立如图所示的直角坐标系,
则A、D、A1、C1的坐标分别是
(1,0,0)、(0,0,0)、(1,0,1)、
(0,1,1),∴,
,,将平面与平面间的距离转化成点A到平面的距离。设平面的一个法向量,
则,即,
,平面与平面间的距离
如图,有两个平面α与β,分别作这两个平面的法向量与,则平
面α与β所成的角跟法向量与 α
所成的角相等或互补,所以首先 β
必须判断二面角是锐角还是钝角。
例6、如下图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=a,AD=3a,sin∠ADC=,且PA⊥平面ABCD,PA=a,求二面角P-CD-A的平面角的余弦值。
分析:依题意,先过C点CE⊥AD,计算得ED=2a,BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系,则P(0,0,a),D(0,3a,0), P
C(a,a,0),, A E D
,, B C
取平面ACD的一个法向量,设平面PCD的法向量是、,所以得
所以不妨取得,从而计算得
易得二面角P-CD-A的平面角是锐角,所以其角的余弦是
如图,要求直线a与平面α所成的角θ,先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦,易知θ=或者
例7、如下图,已知正四面体ABCD的边长为2,E为AD的中点,求EC与平面BCD所成的角。
分析:作AO⊥平面BCD,连结OD,并且 A
过O作OF∥BC交CD于F,建立如图所 E
示右手直角坐标系,则O(0,0,0), B O D
E(0,,), C F
易取得平面BCD上的一个法向量,所以,观察与的方向,易知EC与平面BCD所成的角是
如果有一向量垂直于平面α,则向量叫做平面α的法向量。要证两个平面平行,只需证这两个平面同时垂直于它们的法向量。
例8、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1BD∥平面B1D1C
分析:作如图所示右手直角坐标系, D C
则各点坐标是A1(1,0,0), A B
D1(0,0,0),B1(1,1,0), D1 C1
B(1,1,1),D(0,0,1), A1 B1
C(0,1,1) ,则=(0,1,1),
=(-1,-1,0),设平面A1BD有一法向量=(x,y,z),则
y+z -x +-y =0
x=z y=-z
不妨取z=1,则=(1,-1,1) ,又由=(-1,-1,0), =(0,1,1),易知=, =,所以与都与垂直,所以与平面B1D1C垂直,从而得到平面A1BD∥平面B1D1C
要证两平面相互垂直,只需找出这两个平面的两个法向量,证明这两个法向量相互垂直。
例9、 如右图,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,
BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点。 E
求证:(1)DE=DA; M D
(2)平面BDM⊥平面ECA; C B
(3)平面DEA⊥平面ECA; A
分析(3):建立如图所示右手直角坐标系 ,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1), , , , 分别假设面CEA与面DEA的法向量是、,所以得
不妨取、,从而计算得,所以两个法向量相互垂直,两个平就相互垂直。
事实证明,法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用,它在中学数学中的出现,是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深。