21.解:(1)由
整理得 .
又,所以是首项为,公比为的等比数列,得
(2)方法一:
由(1)可知,故.
那么,
又由(1)知且,故,
因此 为正整数.
方法二:
由(1)可知,
因为,
所以 .
由可得,
即
两边开平方得 .
即 为正整数.
全国2文17
设等比数列的公比,前项和为.已知,求的通项公式.
解:由题设知,
则 ②
由②得,,,
因为,解得或.
当时,代入①得,通项公式;
当时,代入①得,通项公式.
全国1理22
已知数列中,,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若数列中,,,
证明:,.
解:(Ⅰ)由题设:
,
.
所以,数列是首项为,公比为的等比数列,
,
即的通项公式为,.
(Ⅱ)用数学归纳法证明.
(ⅰ)当时,因,,所以
,结论成立.
(ⅱ)假设当时,结论成立,即,
也即.
当时,
,
又,
所以
.
也就是说,当时,结论成立.
根据(ⅰ)和(ⅱ)知,.
全国1文21
设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,
(Ⅰ)求,的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
解:(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则依题意有且
解得,.
所以,
.
(Ⅱ).
,①
,②
②-①得,
.
辽宁理21
已知数列,与函数,,满足条件:
,.
(I)若,,,存在,求的取值范围;
(II)若函数为上的增函数,,,,证明对任意,(用表示).
江西理22
设正整数数列满足:,且对于任何,有.
(1)求,;
(3)求数列的通项.
解:(1)据条件得 ①
当时,由,即有,
解得.因为为正整数,故.
当时,由,
解得,所以.
(2)方法一:由,,,猜想:.
下面用数学归纳法证明.
1当,时,由(1)知均成立;
2假设成立,则,则时
由①得
因为时,,所以.
,所以.
又,所以.
故,即时,成立.
由1,2知,对任意,.
(2)方法二:
由,,,猜想:.
下面用数学归纳法证明.
1当,时,由(1)知均成立;
2假设成立,则,则时
由①得
即 ②
由②左式,得,即,因为两端为整数,
则.于是 ③
又由②右式,.
则.
因为两端为正整数,则,
所以.
又因时,为正整数,则 ④
据③④,即时,成立.
由1,2知,对任意,.
江西文21
设为等比数列,,.
(1)求最小的自然数,使;
(2)求和:.
解:(1)由已知条件得,
因为,所以,使成立的最小自然数.
(2)因为,…………①
,…………②
得:
所以.
江苏理20
已知 是等差数列,是公比为的等比数列,,记为数列的前项和,
(1)若是大于的正整数,求证:;(4分)
(2)若是某一正整数,求证:是整数,且数列中每一项都是数列中的项;(8分)
(3)是否存在这样的正数,使等比数列中有三项成等差数列?若存在,写出一个的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4分)
解:设的公差为,由,知,()
(1)因为,所以,
,
所以
(2),由,
所以解得,或,但,所以,因为是正整数,所以是整数,即是整数,设数列中任意一项为
,设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数,使得,即在方程中有正整数解即可,,所以
,若,则,那么,当时,因为,只要考虑的情况,因为,所以,因此是正整数,所以是正整数,因此数列中任意一项为
与数列的第项相等,从而结论成立。
(3)设数列中有三项成等差数列,则有
2设,所以2,令,则,因为,所以,所以,即存在使得中有三项成等差数列。
湖南理21
已知()是曲线上的点,,是数列的前项和,且满足,,….
(I)证明:数列()是常数数列;
(II)确定的取值集合,使时,数列是单调递增数列;
(III)证明:当时,弦()的斜率随单调递增
解:(I)当时,由已知得.
因为,所以. …… ①
于是. ……②
由②-①得. …… ③
于是. …… ④
由④-③得, …… ⑤
所以,即数列是常数数列.
(II)由①有,所以.由③有,,所以,.
而 ⑤表明:数列和分别是以,为首项,6为公差的等差数列,
所以,,,
数列是单调递增数列且对任意的成立.
且
.
即所求的取值集合是.
(III)解法一:弦的斜率为
任取,设函数,则
记,则,
当时,,在上为增函数,
当时,,在上为减函数,
所以时,,从而,所以在和上都是增函数.
由(II)知,时,数列单调递增,
取,因为,所以.
取,因为,所以.
所以,即弦的斜率随单调递增.
解法二:设函数,同解法一得,在和上都是增函数,
所以,.
故,即弦的斜率随单调递增.
湖南文20
设是数列()的前项和,,且,,.
(I)证明:数列()是常数数列;
(II)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列()中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项.