1
已知
均为单位向量，它们的夹角为
，那么
=
(A)4 (B)
(C)
(D)
2 过点
的直线
经过圆
的圆心，则直线的倾斜角大小为
(A)
(B)
(C)
(D)
3 设函数f( x )的图象关于点(1，
)对称，且存在反函数
( x )，若f(3) = 0，
则(3)等于
(A)－1 (B)1 (C)－2 (D)2
4 设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面 给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n； ④若α∥β，β∥γ，m⊥α，，则m⊥γ
其中正确命题的序号是：
(A) ①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④
5．函数y = cos(2x+
)的一条对称轴方程是
(A)x
= －
(B)x =
－ (C)x
= －
(D)x
= 
6 
，则“
”是“
”的
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
7 若点
在双曲线
的左准线上，过点
且方向向量为
的光线，经直线
反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8．已知四面体
中，
与
间的距离与
夹角分别为3与
，则四面体的体积为( )
(A)
(B)1 (C)2 (D)
9．从1，2，3，4，5 中取三个不同数字作直线
中
的值，使直线与圆
的位置关系满足相离，这样的直线最多有
(A)30条 (B)20条 (C)18条 (D)12条
10．已知等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
11．已知点P是抛物线
= 2x上的动点，点p在y轴上的射影是M，点A的坐标是
，则|
PA | + | PM |的最小值是
(A)
(B)4 (C)
(D)5
12．已知M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2，且
，点I为
的内心，延长MI交线段F1F2于一点N，则
的值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
13 已知
满足
,则
的最大值为
14 四面体中，
是
中点，
是
中点，
，则直线
与
所成的角大小为
15 
的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为
16．若M是直线
上到原点的距离最近的点，则当
在实数范围内变化时, 动点M的轨迹方程是
。
17 (本小题12分)
已知函数
(I)求函数
的最小正周期;
(II) 当
时,求函数的最大值,最小值
18 (本小题12分)
某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二等奖；摸出两个红球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求
(1)甲、乙两人都没有中奖的概率；
(2)甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．
19 (本小题满分12分)
如图，已知正三棱柱ABC－ 
，D是AC的中点，∠
DC = 60°
(Ⅰ)求证：A
∥平面BD；
(Ⅱ)求二面角D－B－C的大小。
20 (本小题12分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
与x=1时都取得极值．
(1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．
21．(本小题12分)已知数列
中的相邻两项
是关于
的方程
的两个根，且
．
(I)求
，
，
，
；
(II)求数列的前
项的和
；
(Ⅲ)求
22 (本小题14分)
如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线⊥x轴与点C， 
，
,动点
到直线的距离是它到点D的距离的2倍
(I)求点的轨迹方程；
(II)设点K为点的轨迹与x轴正半轴的交点,直线交点的轨迹于
两点
(与点K均不重合),且满足
求直线EF在X轴上的截距；
(Ⅲ)在(II)的条件下，动点
满足
,求直线
的斜率的取值范围
08届考文科数学模拟试题(三)参考答案
08届考文科数学模拟试题(三)参考答案
一、1 B 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B
7 A 8 A 9 C 10 D 11 C 12 B
二、13、3 14、
15、-160
16、 
三、17、解:
(1)
……… 3分
的最小正周期为 …………………
5分
(2) 
, ………………… 7分
………………… 10分
………………… 11分
当时,函数的最大值为1,最小值
……… 12分
18.解：(1)P1=
；
……… 6分
(2)方法一：P2=
方法二：P2=
方法三：P2=1-
……… 12分
19、解法一：
(Ⅰ)连结C交BC
于O，则O是B 
C的中点，连结DO。
∵在△A
C中，O、D均为中点，
∴A∥DO…………………………2分
∵A
平面BD，DO
平面BD，
∴A∥平面BD。…………………4分
(Ⅱ)设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。
∵∠DC = 60°，∴C=
。
作DE⊥BC于E。
∵平面BC⊥平面ABC，
∴DE⊥平面BC
作EF⊥B于F，连结DF，则 DF⊥B
∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角………………8分
在Rt△DEC中，DE=
在Rt△BFE中，EF = BE.sin
∴在Rt△DEF中，tan∠DFE = 
∴二面角D－B－C的大小为arctan
………………12分
解法二：以AC的中D为原点建立坐标系，如图，
设| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C| = 。
则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(-1，0，0)，
(1，0)，
，
(Ⅰ)连结C交B
于O是C的中点，连结DO，则
O
.
=
∵A平面BD，
∴A∥平面BD.………………………………………………4分
(Ⅱ)
=(-1，0，)，
设平面BD的法向量为n = ( x , y
, z )，则
即
则有
= 0令z = 1
则n = (，0，1)
…………………………………8分
设平面BC的法向量为m = ( x′
,y′，z′)
|
=(0，0，)，
，
|
|
|
|
即
∴z′= 0
令y = -1，解得m = (，-1，0)
二面角D -B-C的余弦值为cos＜n , m＞＝
∴二面角D-B-C的大小为arc cos
…………12分
20、解: 解：
(1)f(x)=x3+ax2+bx+c, f′(x)=3x2+2ax+b,
由f′(-
)=
a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0,得
a=－
，b=－2，………… 3分
f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，函数f(x)的单调区间如下表：
|
x |
(-∞，－) |
－ |
(－，1) |
1 |
(1，+∞) |
|
f′(x) |
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
f(x) |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
所以函数f(x)的递增区间为(－∞，－)与(1，+∞)；
递减区间为(－，1). ………… 6分
(2)f(x)=x3-x2-2x+c x∈［-1，2］，当x=-时，f(x)=
+c为极大值，
而f(2)=2+c，则f(2)=2+c为最大值. ………… 8分
要使f(x)＜c2(x∈［-1，2］)恒成立，只须c2＞f(2)=2+c，
解得c＜－1或c＞2. ………… 12分
21、(I)解：方程的两个根为
，
，
当
时，
，所以
；
当
时，
，
，所以
；
当
时，
，
，所以
时；
当
时，
，
，所以
．
………… 4分
(II)解：
．
………… 8分
(Ⅲ)=
………… 12分
22、解： (I)依题意知,点的轨迹是以点
为焦点、直线为其相应准线,
离心率为的椭圆
设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,
又，
，∴点在x轴上,且
,且
则
3
解之得：
,
∴坐标原点
为椭圆的对称中心
∴动点M的轨迹方程为：
………… 4分
(II)设
,设直线
的方程为
,代入得
………… 5分
,
………… 6分
,
,
,
解得:
(舍) ∴ 直线EF在X轴上的截距为
…………8分
(Ⅲ)设
,由知,
直线的斜率为
………… 10分
当
时,
;
当
时,
,
时取“=”)或
时取“=”)，
………… 12分
综上所述 
………… 14分