难点15　 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场 ()已知α、β为锐角，且x(α+β－)＞0,试证不等式f(x)=x＜2对一切非零实数都成立. ●案例探究 ［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围. 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的参考答案

参考答案

难点磁场

证明：若x＞0，则α+β＞∵α、β为锐角，∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜,∴0＜sin(－α)＜sinβ.0＜sin(－β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜＜1,0＜＜1,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜,∵α、β为锐角，0＜β＜－α＜,0＜α＜－β＜,0＜sinβ＜sin(－α),∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin(－β),∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1,

∵f(x)在(－∞,0)上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立.

歼灭难点训练

一、1.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, )时，

y＜0.

答案：D

2.解析：f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos²x－1+cosx

=2［(cosx+］－1.

答案：D

二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－,0］及［,π］.而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－,0］及［,π］为f(x)的递减区间.

4.解：由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－,］，由题设得

三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0

∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.

从而知f(1)=0∴b+c+1=0.

(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.

(3)∵f(sinα)=sin²α+(－1－c)sinα+c=(sinα－)²+c－()²,

当sinα=－1时，［f(sinα)］_max=8,由解得b=－4,c=3.

6.解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a²=x²+y²－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).

∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤　(当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V₁=(xysinα)b=.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V₂=ab²cos,

∵a＞b,∴V₁＞V₂

从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为a²bcos.

7.解：如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则

∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，，

∴PQ=Rsin(45°－θ).S_矩形MNPQ=QP.NP=R²sinθsin(45°－θ)=R².［cos(2θ－45°)－］≤R²，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S_矩形MNPQ的值最大且最大值为R².

工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为R².

8.解：∵在［－］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函数可化为y=

log₂(1－sin²x)=log₂cos²x，又cosx＞0在［－］上恒成立，∴原函数即是y=2log₂cosx,在x∈［

－］上，≤cosx≤1.

∴log₂≤log₂cosx≤log₂1，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－］上，y_max=0,

y_min=－1.

综合上述知，存在符合题设.