08高考数学三个“二次”及关系试题 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法. ●难点磁场 已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程=|a－1|+2的根的取值范围. ●案例探究 ［例1］已知二次函参考答案

参考答案

难点磁场

解：由条件知Δ≤0,即(－4a)²－4(2a+12)≤0,∴－≤a≤2

(1)当－≤a＜1时，原方程化为：x=－a²+a+6,∵－a²+a+6=－(a－)²+.

∴a=－时，x_min=,a=时，x_max=.

∴≤x≤.

(2)当1≤a≤2时，x=a²+3a+2=(a+)²－

∴当a=1时，x_min=6,当a=2时，x_max=12,∴6≤x≤12.

综上所述,≤x≤12.

歼灭难点训练

一、1.解析：当a－2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a=2,当a－2≠0时，则a满足,解得－2＜a＜2,所以a的范围是－2＜a≤2.

答案：C

2.解析：∵f(x)=x²－x+a的对称轴为x=,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),

∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.

答案：A

二、3.解析：只需f(1)=－2p²－3p+9>0或f(－1)=－2p²+p+1>0即－3＜p＜或－＜p＜1.∴p∈(－3, ).

答案：(－3，)

4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，

∴|1－2x²－2|＜|1+2x－x²－2|,∴－2＜x＜0.

答案：－2＜x＜0

三、5.解：(1)由log_a得log_at－3=log_ty－3log_ta

由t=a^x知x=log_at，代入上式得x－3=,　

∴log_ay=x²－3x+3，即y=a　(x≠0).

(2)令u=x²－3x+3=(x－)²+　(x≠0),则y=a^u

①若0＜a＜1,要使y=a^u有最小值8，

则u=(x－)²+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

②若a>1,要使y=a^u有最小值8，则u=(x－)²+,x∈(0,2应有最小值

∴当x=时，u_min=,y_min=

由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

6.解：∵f(0)=1>0

(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.

(2)当m>0时，则解得0＜m≤1

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

7.证明：(1)

,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.

(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r

①当p＜0时，由(1)知f()＜0

若r>0,则f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解;

若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,

又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解.

②当p＜0时同理可证.

8.解：(1)设该厂的月获利为y,依题意得　

y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x²+130x－500

由y≥1300知－2x²+130x－500≥1300

∴x²－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.

(2)由(1)知y=－2x²+130x－500=－2(x－)²+1612.5

∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，

∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.