08高考数学函数值域及求法测试 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题. ●难点磁场 ()设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+). (1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M. (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值. (3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. ●案例探究 ［例1］参考答案

(2)求函数f(x)的最小值.

参考答案

难点磁场

(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log₃［(x－2m)²+m+］,

当m∈M时，m>1,∴(x－m)²+m+>0恒成立，故f(x)的定义域为R.

反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x²－4mx+4m²+m+>0,令Δ＜0,即16m²－4(4m²+m+)＜0,解得m>1,故m∈M.

(2)解析：设u=x²－4mx+4m²+m+,∵y=log₃u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小.而u=(x－2m)²+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log₃(m+)为最小值.

(3)证明：当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立.

∴log₃(m+)≥log₃3=1.

歼灭难点训练

一、1.解析：∵m₁=x²在(－∞,－)上是减函数，m₂=在(－∞,－)上是减函数，

∴y=x²+在x∈(－∞,－)上为减函数,

∴y=x²+　(x≤－)的值域为［－，+∞.

答案：B

2.解析：令=t(t≥0),则x=.

∵y=+t=－　(t－1)²+1≤1

∴值域为(－∞,1.

答案：A

二、3.解析：t=+16×()²/V=+≥2=8.

答案：8

4.解析：由韦达定理知：x₁+x₂=m,x₁x₂=,∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²－2x₁x₂=m²－=(m－)²－,又x₁,x₂为实根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－)²－在区间(－∞,1)上是减函数，在［2，+∞上是增函数又抛物线y开口向上且以m=为对称轴.故m=1时，

y_min=.

答案：－1　

三、5.解：(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以

y=

(2)在0≤x≤5时，y=－x²+4.75x－0.5,当x=－=4.75(百台)时，y_max=10.78125(万元)，当x>5(百台)时，y＜12－0.25×5=10.75(万元)，　

所以当生产475台时，利润最大.　

(3)要使企业不亏本，即要求

解得5≥x≥4.75－≈0.1(百台)或5＜x＜48(百台)时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.

6.解：(1)依题意(a²－1)x²+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a²－1≠0时，其充要条件是，

∴a＜－1或a>.又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a≤－1或a>为所求.

(2)依题意只要t=(a²－1)x²+(a+1)x+1能取到(0，+∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，故有,解得1＜a≤,又当a²－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合题意，∴1≤a≤为所求.

7.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得：

x+y+z=360　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②x>0,y>0,z≥60.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③　

假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S的最大值，由①②消去z,得y=360－3x.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

将④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

∵z≥60,∴x≥30.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

再将④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2.2x,即S=－x+1080.由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为S=－30+1080=1050(千元).得x=30分别代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60.

∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元.

8.解：(1)如图所示：设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=,

∴S₁=πah+πbh=,

∴f(x)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又　

代入①消c，得f(x)=.

在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,则

x==sinA+cosA=sin(A+).∴1＜x≤.

(2)f(x)=　+6,设t=x－1,则t∈(0, －1),y=2(t+)+6在(0，－1上是减函数，∴当x=(－1)+1=时，f(x)的最小值为6+8.