1.(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法
若,且,,求的值.
变式1:若二次函数的图像的顶点坐标为,与y轴的交点坐标为(0,11),则
A. B.
C. D.
变式2:若的图像x=1对称,则c=_______.
变式3:若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点、,且,试问该二次函数的图像由的图像向上平移几个单位得到?
2.(北师大版第52页例2)图像特征
将函数配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像.
变式1:已知二次函数,如果(其中),则
A. B. C. D.
变式2:函数对任意的x均有,那么、、的大小关系是
A. B.
C. D.
变式3:已知函数的图像如右图所示,
请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________.
3.(人教A版第43页B组第1题)单调性
已知函数,.
(1)求,的单调区间;(2) 求,的最小值.
变式1:已知函数在区间内单调递减,则a的取值范围是
A. B. C. D.
变式2:已知函数在区间(,1)上为增函数,那么的取值范围是_________.
变式3:已知函数在上是单调函数,求实数的取值范围.
4.(人教A版第43页B组第1题)最值
已知函数,.
(1)求,的单调区间;(2) 求,的最小值.
变式1:已知函数在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是
A. B. C. D.
变式2:若函数的最大值为M,最小值为m,则M + m的值等于________.
变式3:已知函数在区间[0,2]上的最小值为3,求a的值.
5.(人教A版第43页A组第6题)奇偶性
已知函数是定义在R上的奇函数,当≥0时,.画出函数的图像,并求出函数的解析式.
变式1:若函数是偶函数,则在区间上是
A.增函数 B.减函数 C.常数 D.可能是增函数,也可能是常数
变式2:若函数是偶函数,则点的坐标是________.
变式3:设为实数,函数,.
(I)讨论的奇偶性;(II)求的最小值.
6.(北师大版第64页A组第9题)图像变换
已知.
(1)画出函数的图象;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最大值和最小值.
变式1:指出函数的单调区间.
变式2:已知函数.
给下列命题:①必是偶函数;
② 当时,的图像必关于直线x=1对称;
③ 若,则在区间[a,+∞上是增函数;
④有最大值.
其中正确的序号是________.③
变式3:设函数给出下列4个命题:
①当c=0时,是奇函数;
②当b=0,c>0时,方程只有一个实根;
③的图象关于点(0,c)对称;
④方程至多有两个实根.
上述命题中正确的序号为 .
7.(北师大版第54页A组第6题)值域
求二次函数在下列定义域上的值域:
(1)定义域为;(2) 定义域为.
变式1:函数的值域是
A. B. C. D.
变式2:函数y=cos2x+sinx的值域是__________.
变式3:已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx(a、b 为常数,且 a ≠ 0),满足条件 f (1 + x) = f (1-x),且方程 f (x) = x 有等根.
(1)求 f (x) 的解析式;
(2)是否存在实数 m、n(m < n),使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n],如果
存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.
8.(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题
当具有什么关系时,二次函数的函数值恒大于零?恒小于零?
变式1:已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) .
(I)若函数 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;
(II)若函数 f (x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围.
变式2:已知函数,若时,有恒成立,求的取值范围.
变式3:若f (x) = x 2 + bx + c,不论 a、b 为何实数,恒有 f (sin a )≥0,f (2 + cos b )≤0.
(I) 求证:b + c = -1;
(II) 求证: c≥3;
(III) 若函数 f (sin a ) 的最大值为 8,求 b、c 的值.
9.(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系
右图是二次函数的图像,它与x轴交于点和,试确定以及,的符号.
变式1:二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为
变式2:直线与抛物线
中至少有一条相交,则m的取值范围是.
变式3:对于函数 f (x),若存在 x0 Î R,使 f (x0) = x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x1、x2.
(I)若 x1 < 1 < x2,且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称,求证m > ;
(II)若 | x1 | < 2 且 | x1-x2 | = 2,求 b 的取值范围.
10.(北师大版第52页例3)应用
绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方安:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?
变式1:在抛物线与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图),求周长最长的内接矩形两边之比,其中a是正实数.
变式2:某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图一;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图二(注:利润和投资单位:万元)
(I) 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(II) 该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少元(精确到1万元)?
变式3:设a为实数,记函数的最大值为g(a) .
(Ⅰ)求g(a);(Ⅱ)试求满足的所有实数a.
二次函数答案
1.(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法
变式1: 解:由题意可知,解得,故选D.
变式2: 解:由题意可知,解得b=0,∴,解得c=2.
变式3:解:由题意可设所求二次函数的解析式为,
展开得,
∴,
∴,即,解得.
所以,该二次函数的图像是由的图像向上平移 单位得到的,它的解析式是,即.
2.(北师大版第52页例2)图像特征
变式1: 解:根据题意可知,∴ ,故选D.
变式2: 解:∵,∴抛物线的对称轴是,
∴ 即,
∴,∴、、,
故有,选C.
变式3: 解:观察函数图像可得:
① a>0(开口方向);② c=1(和y轴的交点);
③ (和x轴的交点);④();
⑤ (判别式);⑥ (对称轴).
3.(人教A版第43页B组第1题)单调性
变式1: 解:函数图像是开口向上的抛物线,其对称轴是,
由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧,
∴,解得,故选D.
变式2:解:函数在区间(,1)上为增函数,由于其图像(抛物线)开口向上,所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧,即应有,解得,
∴ ,即.
变式3:解:函数的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是,
∵ 已知函数在上是单调函数,∴ 区间应在直线的左侧或右侧,
即有或,解得或.
4.(人教A版第43页B组第1题)最值
变式1: 解:作出函数的图像,
开口向上,对称轴上x=1,顶点是(1,2),和y轴的交点是(0,3),
∴m的取值范围是,故选C.
变式2: 解:函数有意义,应有,解得,
∴ Þ Þ ,
∴ M=6,m=0,故M + m=6.
变式3: 解:函数的表达式可化为.
① 当,即时,有最小值,依题意应有,解得,这个值与相矛盾.
②当,即时,是最小值,依题意应有,解得,又∵,∴为所求.
③当,即时,是最小值,
依题意应有,解得,又∵,∴为所求.
综上所述,或.
5.(人教A版第43页A组第6题)奇偶性
变式1: 解:函数是偶函数 Þ Þ ,
当时,是常数;当时,,在区间上是增函数,故选D.
变式2:解:根据题意可知应有且,即且,∴点的坐标是.
变式3: 解:(I)当时,函数,此时,为偶函数;
当时,,,
,,此时既不是奇函数,也不是偶函数.
(II)(i)当时,,
若,则函数在上单调递减,从而函数在上的最小值为.
若,则函数在上的最小值为,且.
(ii)当时,函数,
若,则函数在上的最小值为,且,
若,则函数在上单调递增,从而函数在上的最小值为.
综上,当时,函数的最小值为;
当时,函数的最小值为;
当时,函数的最小值为.
6.(北师大版第64页A组第9题)图像变换
变式1: 解:函数可转化为二次函数,作出函数图像,由图像可得单调区间.
当时,,
当时,.
作出函数图像,由图像可得单调区间.
在和上,函数是增函数;在和上,函数是减函数.
变式2: 解:若则,显然不是偶函数,所以①是不正确的;
若则,满足,但的图像不关于直线x=1对称,所以②是不正确的;
若,则,图像是开口向上的抛物线,其对称轴是,∴在区间[a,+∞上是增函数,即③是正确的;
显然函数没有最大值,所以④是不正确的.
变式3: 解:,
(1)当c=0时,,满足,是奇函数,所以①是正确的;
(2)当b=0,c>0时,,
方程即 或 ,
显然方程无解;方程的唯一解是 ,所以② 是正确的;
(3)设是函数图像上的任一点,应有,
而该点关于(0,c)对称的点是,代入检验即,也即,所以也是函数图像上的点,所以③是正确的;
(4)若,则,显然方程有三个根,所以④ 是不正确的.
7.(北师大版第54页A组第6题)值域
变式1: 解:作出函数的图象,容易发现在上是增函数,在上是减函数,求出,,,注意到函数定义不包含,所以函数值域是.
变式2:解:∵ y= cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,令t= sinx Î [-1,1],
则y=-2t2+t+1,其中tÎ [-1,1],
∴y Î [-2, ],即原函数的值域是[-2, ].
变式3: 解:(I) ∵ f (1 + x) = f (1-x),
∴ - = 1,
又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b-1) x = 0 有等根,
∴ △= (b-1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = -,
∴ f (x) = -x 2 + x.
(II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线,对称轴为 x = 1,
1° 当 m≥1 时,f (x) 在 [m,n] 上是减函数,
∴ 3m = f (x)min = f (n) = -n 2 + n (*),
3n = f (x)max = f (m) = -m 2 + m,
两式相减得:3 (m-n) = -(n 2-m 2) + (n-m),
∵ 1≤m < n,上式除以 m-n 得:m + n = 8,
代入 (*) 化简得:n 2-8n + 48 = 0 无实数解.
2° 当 n≤1 时,f (x) 在 [m,n] 上是增函数,
∴ 3m = f (x)min = f (m) = -m 2 + m,
3n = f (x)max = f (n) = -n 2 + n,
∴ m = -4,n = 0.
3° 当 m≤1≤n 时,对称轴 x = 1 Î [m,n],
∴ 3n = f (x)max = f (1) = Þ n = 与 n≥1 矛盾.
综合上述知,存在 m = -4、n = 0 满足条件.
8.(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题
变式1: 解:(I) 函数 f (x) 的定义域为 R,即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R,
∴应有 Þ a > 1,
∴ 实数 a 的取值范围是(1,+¥) .
(II) 函数 f (x) 的值域为 R,即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+¥) 的所有值.
1° 当 a = 0 时,a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求;
2° 当 a ≠ 0 时,应有 Þ 0 < a≤1.
∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] .
变式2: 解法一:(转化为最值)
在上恒成立,即在上恒成立.
⑴, ;
⑵,.
综上所述.
解法二:(运用根的分布)
⑴当,即时,应有, 即,不存在;
⑵当,即时,应有,
即,;
⑶当,即时,应有,即 ,
综上所述.
变式3: 证明:(I) 依题意,f (sin ) = f (1)≥0,f (2 + cos p) = f (1)≤0,
∴ f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = -1,
(II) 由 (I) 得: f (x) = x 2-(c + 1) x + c (*)
∵ f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) 2-(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0
Þ (1 + cos b ) [c-(2 + cos b )]≥0,对任意 b 成立.
∵ 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ,
∴ c≥(2 + cos b )max = 3.
(III) 由 (*) 得:f (sin a ) = sin 2a-(c + 1) sin a + c,
设 t = sin a ,则g(t) = f (sin a ) = t 2-(c + 1) t + c,-1≤t≤1,
这是一开口向上的抛物线,对称轴为 t = ,
由 (II) 知:t≥= 2,
∴ g(t) 在 [-1,1] 上为减函数.
∴ g(t)max = g(-1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8,
∴ c = 3
∴ b = -c-1 = -4.
9.(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系
变式1: 解:二次函数与一次函数图象交于两点、,由二次函
数图象知同号,而由中一次函数图象知异号,互相矛盾,故舍去.
又由知,当时,,此时与中图形不符,当时,,与中图形相符.
变式2: 解:原命题可变为:求方程,,
中至少有一个方程有实数解,而此命题的反面是:“三个方程均无实数解”,于是,从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值,即得所求.
解不等式组得 ,
故符合条件的取值范围是或.
变式3: 解:(I) 由 f (x) 表达式得 m = -,
∵ g(x) = f (x)-x = a x 2 + (b-1) x + 1,a > 0,
由 x1,x2 是方程 f (x) = x的两相异根,且 x1 < 1 < x2,
∴ g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ -> 1 Þ -> ,即 m > .
(II) △= (b-1) 2-4a > 0 Þ (b-1) 2 > 4a,
x1 + x2 = ,x1x2 = ,
∴ | x1-x2 | 2 = (x1 + x2) 2-4x1x2 = () 2-= 2 2,
∴ (b-1) 2 = 4a + 4a 2 (*)
又 | x1-x2 | = 2,
∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1,
要 g(x) = 0 有一根属于 (-2,2),
则 g(x) 对称轴 x = Î (-3,3),
∴ -3 < < 3 Þ a > | b-1 |,
把代入 (*) 得:(b-1) 2 > | b-1 | + (b-1) 2,
解得:b < 或 b > ,
∴ b 的取值范围是:(-¥, )∪( ,+¥).
10.(北师大版第52页例3)应用
变式1: 解:设矩形ABCD在x轴上的边是BC,BC的长是x(0<x<a),
则B点的坐标为,A点的坐标为.
设矩形ABCD的周长为P,
则P=2(0<x<a).
① 若a>2,则当x=2时,矩形的周长P有最大值,这时矩形两边的长分别为2和,两边之比为8:;
②若0 <a≤2,此时函数P=无最大值,也就是说周长最大的内接矩形不存在.
综上所述,当a>2时,周长最大的内接矩形两边之比为8:;当0 <a≤2时,周长最大的内接矩形不存在.
变式2: 解:(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为
f (x) = kx,g(x) = m,
由 f (1) = k = 0.25, g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ,
∴ f (x) = x(x≥0),g(x) = .
(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元,则在 A 产品投资 10-x 万元,
∴ 企业的利润 y = (10-x) + = [-(-) 2 + ](0≤x≤10),
∴ = ,即 x = 6.25 万元时,企业获得最大利润 ≈4 万元.
答:在 A 产品投资 3.75 万元,在 B 产品投资 6.25 万元,企业获得最大利润约 4 万元.
变式3: 解:设,要使有意义,必须且,即,
∵,且……①
∴的取值范围是.
由①得:,
不妨设,.
(I)由题意知即为函数,的最大值,
当时,,,有=2;
当时,此时直线是抛物线的对称轴,
∴可分以下几种情况进行讨论:
(1)当时,函数,的图象是开口向上的抛物线的一段,
由知在上单调递增,故;
(2)当时,,函数,的图象是开口向下的抛物线的一段,
若即时,,
若即时,,
若即时,.
综上所述,有=.
(II)若a>0,则>0,此时g(a)=g( ) Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=-1);
若-<a<0,则<-2,此时g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=-2+<-(舍去);
若-<a≤-,则-2≤<-,
此时g(a)=g( ) Û -a-= Þ a=- (舍去);
若-≤a≤-,则-≤≤-,
此时g(a)=g( ) Û =恒成立;
若-2≤a<-,则-<≤-,
此时g(a)=g( ) Û =-a-Þ a=- (舍去);
若a<-2,则-<<0,
此时g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=-2+>-2 (舍去) .
综上所述,满足的所有实数a为:或.