1.()在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )
A.
B.
C.
D.
2.()在直二面角α-l-β中，直线a
α,直线bβ,a、b与l斜交，则( )
A.a不和b垂直，但可能a∥b B.a可能和b垂直，也可能a∥b
C.a不和b垂直，a也不和b平行 D.a不和b平行，但可能a⊥b
3.()设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z
X∥Y”为真命题的是_________(填序号).
①X、Y、Z是直线 ②X、Y是直线，Z是平面 ③Z是直线，X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面
4.()设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________.
①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
③过a一定可以作一个平面与b垂直
④过a一定可以作一个平面与b平行
5.()如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证：CD⊥PD;
(2)求证：EF∥平面PAD;
(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？
6.()如图，在正三棱锥A-BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.
(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.
(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明.
7.()如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.
(1)若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；
(2)求证：EF⊥BC；
(3)求二面角A1-B1D-C1的大小.
8.()如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=
∠C1CD=∠BCD=60°,
(1)证明：C1C⊥BD；
(2)假定CD=2，CC1=
，记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；
(3)当
的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？
难点26 垂直与平行 垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题. ●难点磁场 ()已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直. (1)求证：AB1⊥C1D1； (2)求证：AB1⊥面A1CD； (3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角. ●案例探究 ［例参考答案
参考答案
难点磁场
1.(1)证明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，
又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，
而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.
(2)证明：连结D1D，∵D是AB中点，∴DD1
CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，
又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.
(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=
，
∴∠OCA=
.
歼灭难点训练
一、1.解析：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=
，AO1=3，由A1O1.A1A=h.AO1,可得A1H=.
答案：C
2.解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，
∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角.
答案：C
二、3.解析：①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.
答案：②③
4.④
三、5.证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，
∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.
(2)取CD中点G，连EG、FG，
∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD
∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD
(3)解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD
证明：G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP
由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE
又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.
6.(1)证明：
同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形
∵A-BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，
∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形.
(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH.面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=
a.
7.(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，
∴BB1∥ME，又BB1
平面EFM，∴BB1∥平面EFM.
(2)证明：取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得：AN⊥BC，
又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF平面EFM，∴BC⊥EF.
(3)解：取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1-B1D-C的平面角，易得∠A1QO=arctan
.
8.(1)证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D
∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O
∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD.
(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角.
在△C1BC中，BC=2，C1C=，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°=
.
∵∠OCB=30°,∴OB=
,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.
作C1H⊥OC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，∴cosC1OC=
(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.