1.()已知两条直线l1:y=x,l2:ax–y=0,其中a∈R,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(,)
C.(,1)∪(1,) D.(1,)
2.()等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示,若,则的值为( )
A. B.1 C. D.
3.()某房间有4个人,那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .(列式表示即可)
4.()函数f(x)=x3–3bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围是 .
5.()已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R是参数).
(1)当t=–1时,解不等式f(x)≤g(x);
(2)如果x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求参数t的取值范围.
6.()已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N*且a1、a2、a3、……、an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.
(1)求数列{an}的通项公式,并求;
(2)证明0<f()<1.
7.()设A、B是双曲线x2–=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.
(1)求直线AB的方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
8.()直线y=a与函数y=x3–3x的图象有相异三个交点,求a的取值范围.
难点39 化归思想 化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法. ●难点磁场 1.()一条路上共有9个路灯,为了节约用电,拟关闭其中3个,要求两端的路灯不能关闭,任意两个相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数为 . 2.()已知平面向量a=(–1),b=(). (参考答案
参 考 答 案
●难点磁场
1.解析:9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中,选3个间隔(不包括两端外边的装置)插入关闭的过程故有C=10种
答案:10
2.(1)证明:∵a.b==0,∴a⊥b
(2)解:∵x⊥y,∴x.y=0
即[a+(t2–3)b].(–ka+tb)=0,整理后得
–ka2+[t–k(t2–3)]a.b+t(t2–3).b2=0
∵a.b=0,a2=4,b2=1
∴上式化为–4k+t(t2–3)=0,∴k=t(t2–3).
(3)解:讨论方程t(t2–3)–k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=t(t2–3)与直线y=k的交点个数
于是f′(t)=(t2–1)=(t+1)(t–1).
令f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1.当t变化时,f′(t),f(t)的变化情况如下表:
t |
(–∞,–1) |
–1 |
(–1,1) |
1 |
(1,+∞) |
f′(t) |
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
f(t) |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
当t=–1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=;
当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=–.
而f(t)=(t2–3)t=0时,得t=–,0,.
所以f(t)的图象大致如右:
于是当k>或k<–时,直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点,则方程有一解;
当k=或k=–时,直线与曲线有两个交点,则方程有两解;当k=0,直线与曲线有三个交点,但k、t不同时为零,故此时也有两解;当–<k<0或0<k<时,直线与曲线有三个交点,则方程有三个解
●歼灭难点训练
一、1.解析:分析直线l2的变化特征,化数为形,已知两直线不重合,因此问题应该有两个范围即得解
答案:C
2.解析:化和的比为项的比∵.
∴,取极限易得
答案:A
二、3.解析:转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率
答案:
4.解析:转化为f′(x)=3x2–3b在(0,1)内与x轴有两交点只须f′(0)<0且f′(1)>0.
答案:0<b<1
三、5.解:(1)原不等式等价于
即 ∴x≥
∴原不等式的解集为{x|x≥}.
(2)x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立.∴x∈[0,1]时恒成立.即恒成立
即x∈[0,1]时,t≥–2x+恒成立,于是转化为求–2x+,x∈[0,1]的最大值问题
令μ=,则x=μ2–1,则μ∈[1,].
∴2x+=–2(μ–)2+.
当μ=1即x=0时,–2x+有最大值1
∴t的取值范围是t≥1.
6.(1)解:{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an=f(1)=n2,由an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1(n≥2),又a1=S1=1满足an=2n–1.故{an}通项公式为an=2n–1(n∈N*)
∴
(2)证明:∵f()=1.+3.+…+(2n–1) ①
∴f()=1.+3.+…+(2n–3)+(2n–1) ②
①–②得:f()=1.+2.+2.+…+2.–(2n–1).
∴f()=++++…+–(2n–1)=1–.
∵ (n∈N*)
∴0<<1,∴0<1–<1,即0<f()<1
7.解:(1)设AB∶y=k(x–1)+2代入x2–=1.
整理得(2–k2)x2–2k(2–k)x–(2–k)2–2=0 ①
设A(x1,y1)、B(x2,y2),x1,x2为方程①的两根
所以2–k2≠0且x1+x2=.又N为AB中点,
有(x1+x2)=1.∴k(2–k)=2–k2,解得k=1.故AB∶y=x+1.
(2)解出A(–1,0)、B(3,4)得CD的方程为y=3–x.与双曲线方程联立.消y有x2+6x–11=0 ②
记C(x3,y3)、D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)由韦达定理可得x0=–3,y0=6.
∵|CD|=
∴|MC|=|MD|=|CD|=2.
又|MA|=|MB|=.即A、B、C、D四点到点M的距离相等,所以A、B、C、D四点共圆.
8.提示:f′(x)=3x2–3=3(x–1)(x+1)易确定f(–1)=2是极大值,f(1)=–2是极小值.当–2<a<2时有三个相异交点.