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难点33  函数的连续及其应用 函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中,必将这一块内容溶入到函数内容中去,因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. ●难点磁场 ()已知函数f(x)= (1)讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性; (2)求f(x)的连续区间. ●案例探究 [例1]已知函数f(x)=, (1)求f(x)的定义域,并作出函数的图象; (2)求f(x)的不连续点x0; (3)对f(x)补充

难点33  函数的连续及其应用 函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中,必将这一块内容溶入到函数内容中去,因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. ●难点磁场 ()已知函数f(x)= (1)讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性; (2)求f(x)的连续区间. ●案例探究 [例1]已知函数f(x)=, (1)求f(x)的定义域,并作出函数的图象; (2)求f(x)的不连续点x0; (3)对f(x)补充参考答案

参考答案

难点磁场

解:(1)f(x)=3, f(x)=-1,所以f(x)不存在,所以f(x)在x=-1处不连续,

f(x)=f(-1)=-1, f(x)≠f(-1),所以f(x)在x=-1处右连续,左不连续

f(x)=3=f(1), f(x)不存在,所以f(x)不存在,所以f(x)在x=1不连续,但左连续,右不连续.

f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0处连续.

(2)f(x)中,区间(-∞,-1),[-1,1],(1,5]上的三个函数都是初等函数,因此f(x)除不连续点x=±1外,再也无不连续点,所以f(x)的连续区间是(-∞,-1),[-1,1]和(1,5.

歼灭难点训练

一、1.解析:

答案:A

2.解析:

f(x)在x=1点不连续,显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续.

答案:C

二、3.解析:利用函数的连续性,即,

答案:

答案:

三、5.解:f(x)=

(1) f(x)=-1, f(x)=1,所以f(x)不存在,故f(x)在x=0处不连续.

(2)f(x)在(-∞,+∞)上除x=0外,再无间断点,由(1)知f(x)在x=0处右连续,所以f(x)在[

-1,0]上是不连续函数,在[0,1]上是连续函数.

6.解:(1)f(-x)=

(2)要使f(x)在(-∞,+∞)内处处连续,只要f(x)在x=0连续,f(x)

= =

f(x)=(a+bx)=a,因为要f(x)在x=0处连续,只要 f(x)= f(x)

= f(x)=f(0),所以a=

7.证明:设f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函数f(x)在(-∞,+∞)连续,且x→+∞时,f(x)→+∞;x→-∞时,f(x)→-∞,所以必存在a∈(-∞,+∞),b∈(-∞,+∞),使f(a).f(b)<0,所以f(x)的图象至少在(a,b)上穿过x轴一次,即f(x)=0至少有一实根.

8.解:不连续点是x=1,连续区间是(-∞,1),(1,+∞)