1.(人教版P85例2)
如图1,设O是正六边形的中心,分别写出
图中与、、相等的向量。
变式1:
如图1,设O是正六边形的中心,分别写出
图中与、共线的向量。
解:
变式2:
如图2,设O是正六边形的中心,分别写出
图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。
解:
2.(人教版第96页例4)
如图,在平行四边形ABCD中,a ,b ,
你能用a,b表示向量 ,吗?
变式1:如图,在五边形ABCDE中,
a ,b ,c ,d ,
试用a ,b , c , d表示向量和.
解:( a + b + d )
( d + a + b +c )
变式2:如图,在平行四边形ABCD中,若,a ,b
则下列各表述是正确的为( )
A. B.
C.a + b D.(a + b)
正确答案:选D
变式3:已知=a,=b, =c,=d, 且四边形ABCD为平行四边形,则( )
A. a+b+c+d=0 B. a-b+c-d=0
C. a+b-c-d=0 D. a-b-c+d=0
正确答案:选A
变式4:在四边形ABCD中,若,则此四边形是( )
A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形
正确答案:选C
变式5:已知a、b是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的 ( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
正确答案:选C
变式6:在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a、b不共线,则四边形ABCD为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形
[解析] ∵==-8a-2b=2,∴.
∴四边形ABCD为梯形.
正确答案:选C
变式7:已知菱形ABCD,点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则等于( )
A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(),λ∈(0,)
[解析] 由向量的运算法则=+,而点P在对角线AC上,所以与同向,且||<||,∴=λ(+),λ∈(0,1).
正确答案:选 A
变式8:已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,且=,=,=,则下列各式: ①=- ②= +
③=- + ④++=
其中正确的等式的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
正确答案:选B
3.(人教版第98页例6)
如图,已知任意两个非零向量a 、b ,试作a + b,a + 2b,
a + 3b,你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
变式1:已知a + 2b,2a + 4b,3a + 6b (其中a 、b是两个任意非零向量) ,证明:A、B、C三点共线.
证明:∵a + 2b,2a + 4b,
∴ 所以,A、B、C三点共线.
变式2:已知点A、B、C在同一直线上,并且a + b,a + 2b,a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ,试求m、n之间的关系.
解:a + b ,a + 2b
由A、B、C三点在同一直线上可设,
则 所以 即 为所求.
4.(人教版第102页第13题)
已知四边形ABCD,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:
变式1:已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F,
求证:.
证明:如图,连接EB和EC ,
由和可得, (1)
由和可得, (2)
(1)+(2)得, (3)
∵E、F分别为AD和BC的中点,∴,,
代入(3)式得,
2.(人教版第109页例6)
已知a = (4,2),b = (6,y),且a // b ,求 y .
变式1:与向量a = (12,5) 平行的单位向量为( )
A. B.
C. 或 D. 或
正确答案:选C
变式2:已知a,b,当a+2b与2a-b共线时,值为 ( )
A.1 B.2 C. D.
正确答案:选D
变式3:已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(-1,3) 与方向相反的单位向量是( )
A.(0,1) B.(0,-1) C. (-1,1) D.(1,-1)
正确答案:选A
变式4:已知a = (1,0),b = (2,1) .试问:当k为何实数时, ka-b与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向?
解:因为 ka-b ,a+3b.
由已知得, 解得 ,
此时,ka-b ,a+3b,二者方向相反.
2.(人教版第110页例8)
设点P是线段上的一点,、的坐标分别为,.
(1) 当点P是线段上的中点时,求点P的坐标;
(2) 当点P是线段的一个三等分点时,求P的坐标
变式1:已知两点,,,则P点坐标是 ( )
A. B. C. D.
正确答案:选B
变式2:如图,设点P、Q是线段AB的三等分点,
若=a,=b,则= ,
= (用a、b表示)
5.(人教版第116页例3)
已知|a|=6,|b| =4且a与b的夹角为,求 (a + 2b).(ab) .
变式1:已知那么与夹角为
A、 B、 C、 D、
正确答案:选C
变式2:已知向量a和b的夹角为60°,| a | = 3,| b | = 4,则(2a – b).a等于
(A)15 (B)12 (C)6 (D)3
正确答案:选B
变式3:在△ABC中,已知||=4,||=1,S△ABC=,则.等于( )
A.-2 B.2 C.±2 D.±4
正确答案:选C
变式4:设向量与向量的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
解:∵,故,
解之 .
另有,解之,
∴.
2.(人教版第116页例4)
已知|a|=3,|b| =4且a与b不共线,k为何实数时,向量a + kb 与ab互相垂直?
变式1:已知a⊥b ,|a|=2,|b| =3,且向量3a + 2b与kab互相垂直,则k的值为( )
A. B. C. D.1
正确答案:选B
变式2:已知|a|=1,|b| =且(a-b)⊥a,则a与b夹角的大小为 45º .
解:
2.(人教版第119页 第11题)
已知a = (4,2),求与向量a 垂直的单位向量的坐标.
变式1:若i = (1,0), j =(0,1),则与2i+3j垂直的向量是 ( )
A.3i+2j B.-2i+3j C.-3i+2j D.2i-3j
正确答案:选C
变式2:已知向量,,若与垂直,则实数=( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
正确答案:选B
变式3:若非零向量互相垂直,则下列各式中一定成立的是 ( )
A. B.
C. D.
正确答案:选B
变式4:已知向量a=(3,-4),b=(2,x), c=(2,y)且a∥b,ac.求|b-c|的值.
解:∵ a∥b,∴ 3x+8=0. ∴x=. ∴ b=(2, ) .
∵ ac, ∴ 6-4y=0. ∴ y=. ∴ c=(2, ).
而b-c =(2,)-(2,)=(0,-),
∴ |b-c|=.
(人教版第118页例5)
已知A (1,2),B (2,3),C (,5),试判断的形状,并给出证明.
变式1:是所在的平面内的一点,且满足,则 一定为( )
A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.斜三角形
正确答案:选C
变式2:已知A、B、C三点不共线,O是△ABC内的一点,若++=0,
则O是△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心
正确答案:选A
变式3:已知,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
正确答案:选B
变式4:四边形中,
(1)若,试求与满足的关系式;
(2)满足(1)的同时又有,求的值及四边形的面积。
解:
(1) 则有
化简得:
(2)
又 则
化简有:
联立
解得 或
则四边形为对角线互相垂直的梯形
当
此时
当
此时
(人教版第121页 例1)
题目意图:用平面向量的方法证明平面几何命题:平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1:如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点,
求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
证明: ,
,
,
,
以上各式相加可证.
变式2:已知△ABC中,,若,求证:△ABC为正三角形.
证明:, ∴, 又∵, ,
故 , 知a=b, 同理可知b=c , 故a=b=c , 得证.
变式3:已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证.
[证明] ∵E是对角线AC与BD的交点,∴.
在△OAC中,,
同理有.
四式相加可得:.
变式4:四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F,
求证:
[证法一] ∵E、F分别为DA、BC的中点.
∴
又∵=0①
=0②
①+②,得2=0
∴2
∴
[证法二] 连结EC,EB
∵,①
②
①+②,得2+0=,
∴
又∵③
④
③+④,得
又∵=0,
∴.