1.有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡,先集中起来,然后每人去拿一张,设自己拿到自己写的贺卡的人数为,①求的概率分布;②求的数学期望与方差.
2.有3张形状、大小、质量完全相同的卡片,在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张,读出其标号,然后把这张卡片放回去,再抽一张,其标号为,记.(1)求的分布列;(2)求和.
3.甲与乙两人掷硬币,甲用一枚硬币掷3次,记正面朝上的次为ξ;乙用这枚硬币掷2次,记正面朝上的次为η.
(1)分别求ξ和η的期望;
(2)规定;若ξ>η,则甲获胜,若ξ<η,则乙获胜,分别求出甲和乙获胜的概率.
4.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92.
(1)求该题被乙独立解出的概率;
(2)求解出该题的人数的数学期望和方差.
5.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,二张标有数字3,第一次从口袋里任里任意抽取一张,放回口袋里后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.
(Ⅰ)为何值时,其发生的概率最大?说明理由;
(Ⅱ)求随机变量的期望E.
6.A有一只放有x个红球,y个白球,z个黄球的箱子(x、y、z≥0,
且),B有一只放有3个红球,2个白球,1个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色,规定同色时为A胜,异色时为B胜.
(1)用x、y、z表示B胜的概率;
(2)当A如何调整箱子中球时,才能使自己获胜的概率最大?
7.某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试,学校指派一名教师带队,已知每位考生测试合格的概率都是,
(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位,求体育教师不坐后排的概率;
(2)若5人中恰有r人合格的概率为,求r的值;
(3)记测试合格的人数为,求的期望和方差.
8.袋中有1个白球和4个黑球,每次从其中任取一个球,直到取到白球为止.
(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时,求取球次数的数学期望与方差;
(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时,求取球次数的数学期望与方差.
9.从分别写有的九张卡片中,任意抽取两张,计算:
(Ⅰ)卡片上的数字都是奇数的概率;
(Ⅱ)当两张卡片上的数字之和能被3整除时,就说这次试验成功,求在15次试验中成功次数的数学期望.
10.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格。
(Ⅰ)求甲答对试题数的概率分布及数学期望,
(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
11.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且.(I) 求文娱队的人数;(II) 写出的概率分布列并计算.
12.某中学篮球队进行投篮训练,每人在一轮练习中最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.
(1) 求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列,并求出ξ的期望Eξ(结果保留两位有效数字);
(2) 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.
13.甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中10环的概率为,乙射击一次命中10环的概率为s,若他们各自独立地射击两次,设乙命中10环的次数为ξ,且ξ的数学期望Eξ=,表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值.
(1)求s的值及的分布列, (2)求的数学期望.
概率解答题练习
1.有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡,先集中起来,然后每人去拿一张,设自己拿到自己写的贺卡的人数为,①求的概率分布;②求的数学期望与方差.
1.解:(1)分布列
|
0 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
(2).
2.有3张形状、大小、质量完全相同的卡片,在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张,读出其标号,然后把这张卡片放回去,再抽一张,其标号为,记。(1)求的分布列;(2)求和。
解:(1)可能取的值为0、1、2、4。 ……(2分)
且,,, ……(6分)
所求的分布列为:
|
0 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
……(8分)
(2)由(1)可知, ……(11分)
……(14分)
3.(本题满分14分)甲与乙两人掷硬币,甲用一枚硬币掷3次,记正面朝上的次为ξ;乙用这枚硬币掷2次,记正面朝上的次为η.
(1)分别求ξ和η的期望;
(2)规定;若ξ>η,则甲获胜,若ξ<η,则乙获胜,分别求出甲和乙获胜的概率.
解ξ的可能取值为0,1,2,3则ξ的分布列为
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
则Eξ
η的可能取值为0,1,2则η的分布列为
η |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
则Eη=
所以ξ、η的数学期望分别为、1
(2)P(ξ>η)=
P(ξ<η)=
所以甲获胜的概率为,乙获胜的概率为。
4.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92.
(1)求该题被乙独立解出的概率;
(2)求解出该题的人数的数学期望和方差.
解:(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1,乙为P2.(2分)
则P(A)=P1=0.6,P(B)=P2
|
0 |
1 |
2 |
P |
0.08 |
0.44 |
0.48 |
5.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,二张标有数字3,第一次从口袋里任里任意抽取一张,放回口袋里后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.
(Ⅰ)为何值时,其发生的概率最大?说明理由;
(Ⅱ)求随机变量的期望E。
解(I)依题意,随机变量的取值是2、3、4、5、6…………2分
因为P(=2)=;P(=3)=
P(=4)=;P(=5)=;
P(=6)=;…………7分
所以,当=4时,其发生的概率P(=4)=最大…………8分
(Ⅱ)E=………………12分
6.(本小题满分12分)A有一只放有x个红球,y个白球,z个黄球的箱子(x、y、z≥0,
且),B有一只放有3个红球,2个白球,1个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色,规定同色时为A胜,异色时为B胜.
(1)用x、y、z表示B胜的概率;
(2)当A如何调整箱子中球时,才能使自己获胜的概率最大?
解:(1)显然A胜与B胜为对立事件,A胜分为三个基本事件:
①A1:“A、B均取红球”;②A2:“A、B均取白球”;③A3:“A、B均取黄球”.
(2)由(1)知,
于是,即A在箱中只放6
个红球时,获胜概率最大,其值为
7.某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试,学校指派一名教师带队,已知每位考生测试合格的概率都是,
(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位,求体育教师不坐后排的概率;
(2)若5人中恰有r人合格的概率为,求r的值;
(3)记测试合格的人数为,求的期望和方差。
解:(1)体育教师不坐后排记为事件A,则。
(2)每位考生测试合格的概率,测试不合格的概率为
则,即,
∴,
(3)∵-
∴
8.袋中有1个白球和4个黑球,每次从其中任取一个球,直到取到白球为止.
(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时,求取球次数的数学期望与方差;
(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时,求取球次数的数学期望与方差。
解(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时,设随机变量是取球次数,因为每次取出的黑球不再放回,所以的可能取值为1,2,3,4,5,易知
,
,
故随机变量的概率分布列为:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
P |
|
|
|
|
|
…………….6分
(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时,设随机变量是取球次数,因为每次取出的黑球仍放回去,所以的可能取值是一切正整数,
所求概率分布为
|
1 |
2 |
3 |
… |
n |
… |
P |
|
|
|
… |
|
… |
9.从分别写有的九张卡片中,任意抽取两张,计算:
(Ⅰ)卡片上的数字都是奇数的概率;
(Ⅱ)当两张卡片上的数字之和能被3整除时,就说这次试验成功,求在15次试验中
成功次数的数学期望。
(Ⅰ);
(Ⅱ)一次试验成功的概率为,从而,故
。
10.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格。
(Ⅰ)求甲答对试题数的概率分布及数学期望。
(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
解:(Ⅰ)依题意,甲答对试题数的概率分布如下:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
…………4分
甲答对试题数的数学期望:
……………………………………4分
(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为
则
…………………理9分(文6分)
甲、乙两人考试均不合格的概率为:
∴甲、乙两人至少一个合格的概率为………理文均12分
11.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且.
(I) 求文娱队的人数;
(II) 写出的概率分布列并计算.
解:设既会唱歌又会跳舞的有x人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是
(7-2 x)人.
(I)∵,
∴.……………………………………3分
即.
∴.
∴x=2. ……………………………………5分
故文娱队共有5人.……………………………………7分
(II) 的概率分布列为
|
0 |
1 |
2 |
P |
|
|
|
,……………………………………9分
,……………………………………11分
∴ =1. …………………………13分
12.某中学篮球队进行投篮训练,每人在一轮练习中最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.
(3) 求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列,并求出ξ的期望Eξ(结果保留两位有效数字);
(4) 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.
解:(1)ξ的可能取值为1,2,3,4,
ξ=1时,P(ξ=1)=0.7
ξ=2时,P(ξ=2)=0.7(1-0.7)=0.21;
ξ=3时,P(ξ=3)=0.7(1-0.7)2=0.063
ξ=4时,P(ξ=4)=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.
∴ξ的分布为
ξ |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
0.7 |
0.21 |
0.063 |
0.027 |
∴Eξ=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4
(2)P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=0.063+0027=0.09
13.甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中10环的概率为,乙射击一次命中10环的概率为s,若他们各自独立地射击两次,设乙命中10环的次数为ξ,且ξ的数学期望Eξ=,表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值.
(1)求s的值及的分布列,
(2)求的数学期望.
解:(1)依题意知ξ∽B(2,s),故Eξ=2s=,
∴s=. …………2分
的取值可以是0,1,2.
甲、乙两人命中10环的次数均为0次的概率是,
甲、乙两人命中10环的次数均为1次的概率是,
甲、乙两人命中10环的次数均为2次的概率是,
∴(=0)=. …………6分
甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是,
甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是.
∴(=2)==,
∴(=1)=1(=0)(=2)=. ………10分
故的分布列是
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
………12分
(2)E=. …………14分