1.计算(a3)2的结果是( )
A.a5 B.a6 C.a8 D.a9
2.在、
、
、
、
中分式的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.已知点P1(n﹣1,5)和P2(2,b﹣1)关于x轴对称,则(a+b)2005的值为( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.(﹣3)2005
4.若分式的值为0,则x的取值为(
)
A.x=1 B.x=﹣1 C.x=±1 D.无法确定
5.化简的结果为( )
A. B.
C.xy D.1
6.下列分解因式正确的是( )
A.x3﹣x=x(x2﹣1) B.m2+m﹣6=(m+3)(m﹣2)
C.(a+4)(a﹣4)=a2﹣16 D.x2+y2=(x+y)(x﹣y)
7.如图所示:数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( )
A.+1 B.﹣
+1 C.
﹣1 D.
8.若3x=15,3y=5,则3x﹣y等于( )
A.5 B.3 C.15 D.10
9.已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式,则k的值是( )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
10.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )
A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13
11.二次根式有意义的条件是__________.
12.随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7(毫米2),这个数用科学记数法表示为
__________.
13.分解因式:3ax2+6axy+3ay2=__________.
14.已知a+b=5,a2+b2=19,则ab=__________,(a﹣b)2=__________.
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=15°,AB的垂直平分线与AC交于点D,与AB交于点E,连结BD.若AD=16cm,则BC的长为__________cm.
16.实数a在数轴上的位置如图,化简+|a﹣2|=__________.
17.若关于x的方程有增根,则m的值为__________.
18.已知:如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则P点的坐标为__________.
19.计算
(1)(﹣1)(
+1)+|1﹣
|﹣(3.14﹣π)0+(﹣
)﹣2
(2)(3﹣2
+
)+2
(3)+6
﹣2x
.
20.先化简再求值:
(1)4(m+1)2﹣(2m+5)(2m﹣5),其中m=﹣3.
(2)+(1﹣
),其中x=
.
21.解分式方程:.
22.有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上,大树高14m,且巢离树顶部1m.当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为5m/s,那它至少需要多少时间才能赶回巢中?
23.如图,在△ABC中,直线ME垂直平分AB,分别交AB、BC于点E、M,直线NF垂直平分AC,分别交AC、BC于点F、N.求证:△AMN的周长等于BC的长.
24.已知x=+
,y=
﹣
,
求(1)x2﹣xy+y2;
(2)x3y+xy3的值.
25.海门某公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒,已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元,若用400元购买台灯和用160元购买手电筒,则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半.求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元?
26.先观察下列等式,再回答下列问题:
①=1+
﹣
=1
;
②=1+
﹣
=1
;
③=1+
﹣
=1
.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想的结果,并验证;
(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数).
27.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,若把△ABC沿直线DE折叠,使△ADE与△BDE重合.
(1)当∠A=35°时,求∠CBD的度数.
(2)若AC=4,BC=3,求AD的长.
(3)当AB=m(m>0),△ABC 的面积为m+1时,求△BCD的周长.(用含m的代数式表示)
2015-2016学年江苏省南通市海门市南东洲国际学校八年级(上)期中数学试卷
1.计算(a3)2的结果是( )
A.a5 B.a6 C.a8 D.a9
[考点]幂的乘方与积的乘方.
[专题]计算题.
[分析]根据幂的乘方,底数不变,指数相乘即可求.
[解答]解:(a3)2=a6,
故选B.
[点评]本题考查了幂的乘方,解题的关键是熟练掌握幂的乘方公式.
2.在、
、
、
、
中分式的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
[考点]分式的定义.
[分析]判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
[解答]解:分式有在、a+
共2个.
故选A.
[点评]本题主要考查分式的定义,注意π不是字母,是常数,所以不是分式,是整式.
3.已知点P1(n﹣1,5)和P2(2,b﹣1)关于x轴对称,则(a+b)2005的值为( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.(﹣3)2005
[考点]关于x轴、y轴对称的点的坐标.
[分析]根据关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,先求得a,b的值,再求代数式的值即可.
[解答]解:∵关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,
∴a﹣1=2,b﹣1=﹣5,
∴a=3,b=﹣4
∴(a+b)2005=﹣1,
故选B.
[点评]此题主要考查了关于x,y轴对称点的坐标特点,根据已知得出a,b的值是解题关键.
4.若分式的值为0,则x的取值为(
)
A.x=1 B.x=﹣1 C.x=±1 D.无法确定
[考点]分式的值为零的条件.
[分析]根据分子为零分母不为零的分式的值为零,可得答案.
[解答]解:由的值为0,得
,
解得x=﹣1,
故选:B.
[点评]本题考查了分式值为零的条件,利用分子为零分母不为零分式的值为零得出方程组是解题关键.
5.化简的结果为( )
A. B.
C.xy D.1
[考点]分式的乘除法.
[分析]首先把乘法运算统一成乘法运算,然后约分即可.
[解答]解:原式=x••
=
.
故选B.
[点评]本题考查了分式乘除混合运算,关键是理解法则把乘除的混合运算统一成乘法运算.
6.下列分解因式正确的是( )
A.x3﹣x=x(x2﹣1) B.m2+m﹣6=(m+3)(m﹣2)
C.(a+4)(a﹣4)=a2﹣16 D.x2+y2=(x+y)(x﹣y)
[考点]因式分解-十字相乘法等;因式分解的意义.
[分析]根据因式分解的定义,把一个多项式化为几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个单项式因式分解,注意分解的结果要正确.
[解答]解:A、x3﹣x=x(x2﹣1)=x(x+1)(x﹣1),分解不彻底,故本选项错误;
B、运用十字相乘法分解m2+m﹣6=(m+3)(m﹣2),正确;
C、是整式的乘法,不是分解因式,故本选项错误;
D、没有平方和的公式,x2+y2不能分解因式,故本选项错误.
故选B.
[点评]本题考查了因式分解定义,十字相乘法分解因式,注意:(1)因式分解的是多项式,分解的结果是积的形式.(2)因式分解一定要彻底,直到不能再分解为止.
7.如图所示:数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( )
A.+1 B.﹣
+1 C.
﹣1 D.
[考点]勾股定理;实数与数轴.
[分析]先根据勾股定理求出三角形的斜边长,再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标.
[解答]解:图中的直角三角形的两直角边为1和2,
∴斜边长为:=
,
∴﹣1到A的距离是,那么点A所表示的数为:
﹣1.
故选C.
[点评]本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式,解答此题时要注意,确定点A的符号后,点A所表示的数是距离原点的距离.
8.若3x=15,3y=5,则3x﹣y等于( )
A.5 B.3 C.15 D.10
[考点]同底数幂的除法.
[分析]根据同底数幂的除法,底数不变,指数相减,可得答案.
[解答]解:3x﹣y=3x÷3y=15÷5=3,
故选:B.
[点评]本题考查了同底数幂的除法,底数不变,指数相减.
9.已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式,则k的值是( )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
[考点]完全平方式.
[分析]根据完全平方公式的特点求解.
[解答]解:根据题意,原式是一个完全平方式,
∵64y2=(±8y)2,
∴原式可化成=(x±8y)2,
展开可得x2±16xy+64y2,
∴kxy=±16xy,
∴k=±16.
故选:D.
[点评]本题利用了完全平方公式求解:(a±b)2=a2±2ab+b2.注意k的值有两个,并且互为相反数.
10.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )
A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13
[考点]勾股定理的应用.
[专题]压轴题.
[分析]最短距离就是饮料罐的高度,最大距离可根据勾股定理解答.
[解答]解:a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理,得:=13.
即a的取值范围是12≤a≤13.
故选:A.
[点评]主要是运用勾股定理求得a的最大值,此题比较常见,难度不大.
11.二次根式有意义的条件是x≥
.
[考点]二次根式有意义的条件.
[分析]二次根式的被开方数是非负数.
[解答]解:依题意得 2x﹣1≥0,
解得 x≥.
故答案是:x≥.
[点评]考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
12.随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7(毫米2),这个数用科学记数法表示为
7×10﹣7.
[考点]科学记数法-表示较小的数.
[专题]常规题型.
[分析]科学记数法就是将一个数字表示成(a×10的n次幂的形式),其中1≤|a|<10,n表示整数.即从左边第一位开始,在首位非零的后面加上小数点,再乘以10的n次幂.本题0.000 000 7<1时,n为负数.
[解答]解:0.000 000 7=7×10﹣7.
故答案为:7×10﹣7.
[点评]本题考查了用科学记数法表示一个较小的数,为a×10n的形式,注:n为负整数.
13.分解因式:3ax2+6axy+3ay2=3a(x+y)2.
[考点]提公因式法与公式法的综合运用.
[专题]常规题型.
[分析]先提取公因式3a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
[解答]解:3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
故答案为:3a(x+y)2.
[点评]本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
14.已知a+b=5,a2+b2=19,则ab=3,(a﹣b)2=13.
[考点]完全平方公式.
[分析]利用完全平方公式将a2+b2=19变形为(a+b)2﹣2ab=19,就可以求出ab的值,(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=19﹣2ab,从而求出其值.
[解答]解:∵a2+b2=19,
∴(a+b)2﹣2ab=19.
∵a+b=5,
∴25﹣2ab=19,
∴ab=3.
∵(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=19﹣2ab,
∴(a﹣b)2=19﹣2×3=13.
故答案为:3,13
[点评]本题是一道有关整式的计算题,考查了完全平方公式的运用及其变形公式的运用.
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=15°,AB的垂直平分线与AC交于点D,与AB交于点E,连结BD.若AD=16cm,则BC的长为8cm.
[考点]线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形.
[分析]利用线段垂直平分线的性质得AD=BD,利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°且AD=BD=16cm,再利用外角的性质得∠ADC=30°,解直角三角形即可得AC的值.
[解答]解;∵AB边的垂直平分线交AB于E,交BC于D,
∴AD=BD.
∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=16cm,
∴∠ADC=30°,
∴AC=AD=8cm.
故答案为:8..
[点评]本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
16.实数a在数轴上的位置如图,化简+|a﹣2|=1.
[考点]二次根式的性质与化简;实数与数轴.
[分析]利用数轴得出a的取值范围,进而化简求出即可.
[解答]解:∵由实数a在数轴上的位置如图,
∴1<a<2,
∴+|a﹣2|
=+|a﹣2|
=a﹣1+2﹣a
=1.
故答案为:1.
[点评]此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确开平方去绝对值得出是解题关键.
17.若关于x的方程有增根,则m的值为1.
[考点]分式方程的增根.
[分析]增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.有增根,最简公分母x﹣2=0,所以增根是x=2,把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值.
[解答]解:方程两边都乘(x﹣2),得
x﹣3=﹣m,
∵方程有增根,
∴最简公分母x﹣2=0,即增根是x=2,
把x=2代入整式方程,得m=1.
故答案为:1.
[点评]考查了分式方程的增根,解决增根问题的步骤:
①确定增根的值;
②化分式方程为整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
18.已知:如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则P点的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).
[考点]矩形的性质;坐标与图形性质;等腰三角形的性质.
[专题]压轴题;数形结合.
[分析]分PD=OD(P在右边),PD=OD(P在左边),OP=OD三种情况,根据题意画出图形,作PQ垂直于x轴,找出直角三角形,根据勾股定理求出OQ,然后根据图形写出P的坐标即可.
[解答]解:当OD=PD(P在右边)时,根据题意画出图形,如图所示:
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q,在直角三角形DPQ中,PQ=4,PD=OD=OA=5,
根据勾股定理得:DQ=3,故OQ=OD+DQ=5+3=8,则P1(8,4);
当PD=OD(P在左边)时,根据题意画出图形,如图所示:
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q,在直角三角形DPQ中,PQ=4,PD=OD=5,
根据勾股定理得:QD=3,故OQ=OD﹣QD=5﹣3=2,则P2(2,4);
当PO=OD时,根据题意画出图形,如图所示:
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q,在直角三角形OPQ中,OP=OD=5,PQ=4,
根据勾股定理得:OQ=3,则P3(3,4),
综上,满足题意的P坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).
故答案为:(2,4)或(3,4)或(8,4)
[点评]这是一道代数与几何知识综合的开放型题,综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用,属于策略和结果的开放,这类问题的解决方法是:数形结合,依理构图解决问题.
19.计算
(1)(﹣1)(
+1)+|1﹣
|﹣(3.14﹣π)0+(﹣
)﹣2
(2)(3﹣2
+
)+2
(3)+6
﹣2x
.
[考点]二次根式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.
[分析](1)分别进行平方差、绝对值的化简、零指数幂、负整数指数幂等运算,然后合并;
(2)先进行二次根式的化简,然后化简合并;
(3)先进行二次根式的化简,然后化简合并.
[解答]解:(1)原式=2﹣1+﹣1﹣1+4
=3+;
(2)原式=6﹣
+4
+2
=;
(3)原式=2+3
﹣2
=3.
[点评]本题考查了二次根式的混合运算,解答本题的关键是掌握二次根式的化简与合并.
20.先化简再求值:
(1)4(m+1)2﹣(2m+5)(2m﹣5),其中m=﹣3.
(2)+(1﹣
),其中x=
.
[考点]分式的化简求值;整式的混合运算-化简求值.
[分析](1)先根据整式混合运算的法则把原式进行化简,再把m=﹣3代入进行计算即可;
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x=代入进行计算即可.
[解答]解:(1)原式=4(m2+2m+1)﹣(4m2﹣25)
=4m2+8m+4﹣4m2﹣25
=8m﹣21,
当m=﹣3时,原式=﹣24﹣21=﹣45;
(2)原式=+
=+
=
=
=x﹣1,
当x=时,原式=
﹣1.
[点评]本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
21.解分式方程:.
[考点]解分式方程.
[分析]观察可得最简公分母是(x﹣3),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
[解答]解:去分母得x=2(x﹣3)+3
即x=3
检验:把x=﹣1代入(x﹣3)=0.所以x=3是原方程的增根
故原方程无解.
[点评]本题考查了分式方程的解法,(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
22.有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上,大树高14m,且巢离树顶部1m.当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为5m/s,那它至少需要多少时间才能赶回巢中?
[考点]勾股定理的应用.
[分析]根据题意,构建直角三角形,利用勾股定理解答.
[解答]解:如图,由题意知AB=3,CD=14﹣1=13,BD=24.
过A作AE⊥CD于E.则CE=13﹣3=10,AE=24,
∴在Rt△AEC中,
AC2=CE2+AE2=102+242.
∴AC=26,26÷5=5.2(s).
[点评]本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.
23.如图,在△ABC中,直线ME垂直平分AB,分别交AB、BC于点E、M,直线NF垂直平分AC,分别交AC、BC于点F、N.求证:△AMN的周长等于BC的长.
[考点]线段垂直平分线的性质.
[分析]由直线PM为线段AB的垂直平分线,根据线段垂直平分线定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=BM,同理可得AN=NC,然后表示出三角形AMN的三边之和,等量代换可得其周长等于BC的长,由BC的长即可得到三角形AMN的周长.
[解答]证明:∵直线MP为线段AB的垂直平分线(已知),
∴MA=MB(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),
又∵直线NQ为线段AC的垂直平分线(已知),
∴NA=NC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),
∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC(等量代换),
[点评]此题考查了线段垂直平分线定理的运用,利用了转化的思想,熟练掌握线段垂直平分线定理是解本题的关键.
24.已知x=+
,y=
﹣
,
求(1)x2﹣xy+y2;
(2)x3y+xy3的值.
[考点]二次根式的化简求值.
[分析](1)首先把已知的式子进行变形,变形后代入数值计算即可求解;
(2)首先把所求的式子进行分解因式,然后代入数值计算即可求解.
[解答]解:(1)因为x=+
,y=
﹣
,
可得:x2﹣xy+y2=(x+y)2+xy=;
(2)因为x=+
,y=
﹣
,
可得:x3y+xy3=xy[(x+y)2﹣2xy]
==10
[点评]本题考查了二次根式的化简求值,正确对所求的式子进行变形是关键.
25.海门某公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒,已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元,若用400元购买台灯和用160元购买手电筒,则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半.求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元?
[考点]二元一次方程组的应用.
[分析]设购买该品牌一个手电筒需要x元,则购买一个台灯需要(x+20)元.根据等量关系:购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半,列出方程.
[解答]解:设购买该品牌一个手电筒需要x元,则购买一个台灯需要(x+20)元.
根据题意 得 =
×
解得 x=5
经检验,x=5是原方程的解.
所以 x+20=25.
答:购买一个台灯需要25元,购买一个手电筒需要5元.
[点评]本题考查了方程的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量(不等量)关系.
26.先观察下列等式,再回答下列问题:
①=1+
﹣
=1
;
②=1+
﹣
=1
;
③=1+
﹣
=1
.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想的结果,并验证;
(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数).
[考点]二次根式的性质与化简.
[专题]规律型.
[分析](1)根据观察,可发现规律,根据规律,可得答案;
(2)根据观察,可发现规律=1+
﹣
=1
.
[解答]解:(1)=1+
﹣
=1
,
=
=
=
=
=1
;
(2)=1+
﹣
=1
.
[点评]本题考查了二次根式的性质与化简,观察发现规律=1+
﹣
=1
是解题关键.
27.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,若把△ABC沿直线DE折叠,使△ADE与△BDE重合.
(1)当∠A=35°时,求∠CBD的度数.
(2)若AC=4,BC=3,求AD的长.
(3)当AB=m(m>0),△ABC 的面积为m+1时,求△BCD的周长.(用含m的代数式表示)
[考点]翻折变换(折叠问题).
[分析](1)根据折叠可得∠1=∠A=35°,根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°,进而得到∠CBD=20°;
(2)根据折叠可得AD=DB,设CD=x,则AD=BD=4﹣x,再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+32=(4﹣x)2,再解方程可得x的值,进而得到AD的长;
(3)根据三角形ACB的面积可得AC•BC=m+1,进而得到AC•BC=2m+2,再在Rt△CAB中,CA2+CB2=BA2,再把左边配成完全平方可得CA+CB的长,进而得到△BCD的周长.
[解答]解:(1)∵把△ABC沿直线DE折叠,使△ADE与△BDE重合,
∴∠1=∠A=35°,
∵∠C=90°,
∴∠ABC=180°﹣90°﹣35°=55°,
∴∠2=55°﹣35°=20°,
即∠CBD=20°;
(2)∵把△ABC沿直线DE折叠,使△ADE与△BDE重合,
∴AD=DB,
设CD=x,则AD=BD=4﹣x,
在Rt△CDB中,CD2+CB2=BD2,
x2+32=(4﹣x)2,
解得:x=,
AD=4﹣=3
;
(3)∵△ABC 的面积为m+1,
∴AC•BC=m+1,
∴AC•BC=2m+2,
∵在Rt△CAB中,CA2+CB2=BA2,
∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC,
∴(CA+BC)2=m2+4m+4=(m+2)2,
∴CA+CB=m+2,
∵AD=DB,
∴CD+DB+BC=m+2.
即△BCD的周长为m+2.
[点评]此题主要考查了图形的翻折变换,以及勾股定理,完全平方公式,关键是掌握勾股定理,以及折叠后哪些是对应角和对应线段.