(2014.湖南理，18)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. (1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． [解析]　(1)由△DAC关于∠CAD的余弦定理可得 cos∠CAD＝＝＝，所以cos∠CAD＝. (2)因为∠BAD为四边形内角，所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，则由正余弦的关系可得 sin∠B——青夏教育精英家教网—

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7．(2014.湖南理，18)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.

(1)求cos∠CAD的值；

(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．

[解析]　(1)由△DAC关于∠CAD的余弦定理可得

cos∠CAD＝＝＝，

所以cos∠CAD＝.

(2)因为∠BAD为四边形内角，所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，则由正余弦的关系可得

sin∠BAD＝＝且sin∠CAD＝＝，

再有正弦的和差角公式可得

sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)

＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD

＝×－×(－)＝+＝，

再由△ABC的正弦定理可得

＝⇒BC＝×＝.
题目来源：第二章 §2

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2．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k+1)∶2k，则k的取值范围是(　) A．(2，+∞)　　　　 B．(－∞，0) C．(－，0)　　　　　 D．(，+∞) [答案]　D [解析]　由正弦定理知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k+1)∶2k，又因为三角形两边之和大于第三边， ∴，所以k>，故选D．
3．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　) A．直角三角形　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形　 D．正三角形 [答案]　B [解析]　∵2sinAcosB＝sin(A+B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B．
4．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，则x的取值范围是(　) A．x>2　　　　　 B．x<2 C．2<x<　　　　 D．2<x≤ [答案]　C [解析]　欲使△ABC有两解，须asin60°<b<A．即x<2<x，∴2<x<.
5．(2014.新课标Ⅰ理，16)已知a，b，c分别为 △ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2+b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________． [答案]　 [解析]　本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，由正弦定理可得(2+b)(a－b)＝(c－b)c，即2a－2b+ab＝b2+c2－bc，将a＝2代入可得b2+c2－bc＝4，所以4≥bC．当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以S△ABC＝bcsinA，当角A＝60°时有最大值为.当一个式子中出现正弦函数以及边的关系时，要注意运用正弦定理转化为边的关系或者正弦函数得到形式，达到化简的目的，利用基本不等式，特别要注意等号成立的条件，否则容易出错．
6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________． [答案]　15 [解析]　本题主要考查等差数列的概念，余弦定理的应用与三角形的面积公式．设三角形的三边依次为a－4，a，a+4，∴a+4的边所对的角为120°. 由余弦定理得(a+4)2＝a2+(a－4)2－2a(a－4)cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14， S△ABC＝×6×10×sin120°＝15.
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