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25.(12分)(2014•聊城)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的三个顶点的坐标分别是A(4,3),O(0,0),B(6,0).点M是OB边上异于O,B的一动点,过点M作MN∥AB,点P是AB边上的任意点,连接AM,PM,PN,BN.设点M(x,0),△PMN的面积为S.
(1)求出OA所在直线的解析式,并求出点M的坐标为(1,0)时,点N的坐标;
(2)求出S关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)若S:S△ANB=2:3时,求出此时N点的坐标.
考点: |
一次函数综合题. |
分析: |
(1)利用待定系数法求解析式即可; (2)作AG⊥OB于G,NH⊥OB于H,利用勾股定理先求得AG的长,然后根据三角形相似求得NH:AG=OM:OB,得出NH的长,因为△MBN的面积=△PMN的面积=S,即可求得S与x的关系式. (3)因为△AMB的面积=△ANB的面积=S△ANB,△NMB的面积=△NMP的面积=S,所以NH;AG=2:3,因为ON:OA=NH:AG,OM:OB=ON:OA,所以OM:OB=ON:OA=2:3,进而求得M点的坐标,求得MN的解析式,然后求得直线MN与直线OA的交点即可. |
解答: |
解:(1)设直线OA的解析式为y=k1 x,∵A(4,3), ∴3=4k1,解得k1=, ∴OA所在的直线的解析式为:y=x, 同理可求得直线AB的解析式为;y=﹣x+9, ∵MN∥AB, ∴设直线MN的解析式为y=﹣x+b,把M(1,0)代入得:b=, ∴直线MN的解析式为y=﹣x+, 解,得, ∴N(,). (2)如图2,作NH⊥OB于H,AG⊥OB于G,则AG=3. ∵MN∥AB, ∴△MBN的面积=△PMN的面积=S, ∴△OMN∽△OBA, ∴NH:AG=OM:OB, ∴NH:3=x:6,即NH=x, ∴S=MB•NH=×(6﹣x)×x=﹣(x﹣3)2+(0<x<6), ∴当x=3时,S有最大值,最大值为. (3)如图2,∵MN∥AB, ∴△AMB的面积=△ANB的面积=S△ANB,△NMB的面积=△NMP的面积=S ∵S:S△ANB=2:3, ∴MB•NH:MB•AG=2:3,即NH;AG=2:3, ∵AG⊥OB于G,NH⊥OB, ∴NH∥AG, ∴ON:OA=NH:AG=2:3, ∵MN∥AB, ∴OM:OB=ON:OA=2:3, ∵OA=6, ∴=, ∴OM=4, ∴M(4,0) ∵直线AB的解析式为;y=﹣x+9, ∴设直线MN的解析式y=﹣x+b ∴代入得:0=﹣×4+b, 解得b=6, ∴直线MN的解析式为y=﹣x+6, 解得, ∴N(,2). |
点评: |
本题考查了待定系数法求解析式,直线平行的性质,三角形相似判定及性质,同底等高的三角形面积相等等,相等面积的三角形的转化是本题的关键. |