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12.(3分)(2014年四川省绵阳市)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,OQ⊥BC于点Q,过点B作半圆O的切线,交OQ的延长线于点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是( )
A. = B. = C. = D. =
考点: 切线的性质;平行线的判定与性质;三角形中位线定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质.
专题: 探究型.
分析: (1)连接AQ,易证△OQB∽△OBP,得到,也就有,可得△OAQ∽OPA,从而有∠OAQ=∠APO.易证∠CAP=∠APO,从而有∠CAP=∠OAQ,则有∠CAQ=∠BAP,从而可证△ACQ∽△ABP,可得,所以A正确.
(2)由△OBP∽△OQB得,即,由AQ≠OP得,故C不正确.
(3)连接OR,易得=,=2,得到,故B不正确.
(4)由及AC=2OQ,AB=2OB,OB=OR可得,由AB≠AP得,故D不正确.
解答: 解:(1)连接AQ,如图1,
∵BP与半圆O于点B,AB是半圆O的直径,
∴∠ABP=∠ACB=90°.
∵OQ⊥BC,
∴∠OQB=90°.
∴∠OQB=∠OBP=90°.
又∵∠BOQ=∠POB,
∴△OQB∽△OBP.
∴.
∵OA=OB,
∴.
又∵∠AOQ=∠POA,
∴△OAQ∽△OPA.
∴∠OAQ=∠APO.
∵∠OQB=∠ACB=90°,
∴AC∥OP.
∴∠CAP=∠APO.
∴∠CAP=∠OAQ.
∴∠CAQ=∠BAP.
∵∠ACQ=∠ABP=90°,
∴△ACQ∽△ABP.
∴.
故A正确.
(2)如图1,
∵△OBP∽△OQB,
∴.
∴.
∵AQ≠OP,
∴.
故C不正确.
(3)连接OR,如图2所示.
∵OQ⊥BC,
∴BQ=CQ.
∵AO=BO,
∴OQ=AC.
∵OR=AB.
∴=,=2.
∴≠.
∴.
故B不正确.
(4)如图2,
∵,
且AC=2OQ,AB=2OB,OB=OR,
∴.
∵AB≠AP,
∴.
故D不正确.
故选:A.
点评: 本题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形的中位线等知识,综合性较强,有一定的难度.