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3、 度数定理
(1) 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
(2) 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
(3) 圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。
(4) 圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半。
(5) 同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。
(6) 直径(或半圆)所对的圆周角是直角;圆周角是直角,它所对的弦是直径。
(7) 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题,常常要用到这些角,因此,熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆问题中极其重要的一环。
[赛题精选]
例1、锐角△ABC内接于⊙O,∠ABC=600,∠BAC=360,作OE⊥AB交劣弧于点E,连接EC,求∠OEC。
[说明](1)在平面几何中求角的大小经常需要考虑用三角形的内角和定理及其推论;
(2)在圆中求角的大小经常需用与圆有关的角的定理。
例2、已知在等腰△ABC中,AB=AC,D为腰AC中点,DE平分∠ADB交AB于E,⊙ADE交BD于N。求证:BN=2AE。
[说明]
(1)在同圆或等圆中,同弧和等弧不仅所对的圆心角、圆周角相等,而且弦也相等;
(2)在圆中证明三角形全等、相似时,如需用角时常需考虑与圆有关的角;
(3)本例中的两条线段AE、BN较为分散,把它们聚合到同一三角形BNE中就易于解决问题;
(4)如图,本例中过A、E、D的圆与BD的延长线交于N点时的证法,可以自行证明。
例3、已知M为劣弧的中点,B为上任一点,MD⊥BC于D。
求证:AB+BD=DC。
[说明]证明一线段等于另两线段之和一般可采用“接短法”或“截长法”。
例4、已知圆内四边形ABCD的对角线互相垂直,过点A、B作CD的垂线(垂足为A1、B1)分别交对角线AC、BD于M、K。
求证:四边形AKMB是菱形。
[说明](1)要证明四边形是一特殊平行四边形,一定要抓住有关概念和有关判定定理采用分层推进、各个击破的方法逐一证得所需的条件;
(2)在寻找具体方法时要结合题中具体条件和图形,选择适当的证明方法。
例5、⊙O内有两条互相垂直的弦AC、BD。
求证:AB2+BC2+CD2+DA2=定值。
[说明]在处理探索问题时除了常用的特殊位置来探求结果,还经常考虑一些极端情形,以求获得探索结果。如D重合于A时,即有AD=0、BC=2R,故AB2+BC2+CD2+DA2=AB2+BC2+CA2=2×(2R)2=8R2。
例6、已知折线ACD是⊙O的一条折弦,点B在⊙O上,且=,BM⊥AC于M。
求证:AM=MC+CD。
[说明](1)本题是江苏省第12届初中数学竞赛第六题,这也是著名的阿基米德折弦定理。(2)它的证明方法有多种,下面三种辅助线的情形自己证明。
[针对训练]
第三节 圆的内接四边形与四点共圆
[知识点拨]
圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系,因为顺次连接共圆四点就成为圆内接四边形。此节中涉及两个基本问题:(1)四点共圆的判定;(2)四点共圆的性质的应用。
证明四点共圆是平面几何中一个重要的证明方法,它和证明三角形全等、相似占有同等重要的地位。实际上,在许多题目中的已知条件中,并没有给出圆,有时需要通过证明四点共圆,把实际存在的圆找出来,然后再借助圆的性质得到要证明的结论。因此,证明四点共圆就给研究几何图形的性质,开拓了新的思路。
判定四点共圆的方法: