3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段间的比例,应用较多,特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。
[赛题精选]
例1、在△ABC中,AM、AD分别是其中线和角平分线,⊙ADM交AB于L,交AC于N。
求证:BL=CN。
例2、⊙O1与⊙O2相交于M、N,D是NM延长线上一点,O2O1的延长线交⊙O1于B、A,AD交⊙O2于C,MN交O1O2、BC于E、G。
求证:EM2=ED.EG。
[说明](1)在圆中要证明比例线段或证明线段积等情况通常找中间比或中间积过渡。
(2)此题若再“已知⊙O1、⊙O2的半径分别是4、6,且OO=5”,而且改为求“ED.EG”,则如何求解?请自行证明。
例3、⊙O与⊙O相交于M、N,公切线为AB、CD,直线MN交AB、CD于点E、F。
求证:EF2=AB2+MN2。
[说明]本例是紧抓AB=4AE=4EM.EN,采用先拆后合的方法导出结论的。而有的形如本例结论形式的问题还要通过找中间比或中间积来过渡。如下例:
例4、四边形ABCD内接于圆,AD、BC的延长线交于点F,DC、AB的延长线交于点E,EP切圆于P,FS切圆于S。
求证:EF2=EP2+FS2。
[说明]在该题中,如再分别以点E、F为圆心,EP、FS为半径,作弦在圆内交于点H,则可证明EH⊥FH。
例5、B是⊙O的切线PA的中点,过B引⊙O的割线与⊙O交于点D、C,PD的延长线交⊙O于E,PC交⊙O于F。
求证:AP∥EF。
例6、证明:三角形三条平分线的积小于三条边的积。
例7、AB是⊙O中任意一弦,M为AB中点,过M任意作两条弦CD、EF,连接CE|DF分别交AB于G、H。
求证:MG=MH。
[说明]本例是著名的“蝴蝶定理”,可通过改头换面,加以适当变形,使之成为一道初等数学问题。
例8、在Rt△ABC中,D在斜边BC上,BD=4DC,一圆过点C,且与AC相交于F,与AB相切于AB的中点G。
求证:AD⊥BF。
[针对训练]
第五节 圆与直线、圆与圆的位置关系
[知识点拨]