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6、公切线的作法及长度计算
本节的两种位置关系和性质是研究直线与圆、圆与圆的基础。要求会用运动变化的方法去考虑两种位置关系,能了解它们之间的区别与联系。
在处理有关相切(或相交)的几何问题时,其基本思路是由位置关系确定线段或角的数量关系,反之由数量关系确定相关的位置关系。在解决解决这样的问题过程中,经常转化为直角三角形、相似三角形,利用勾股定理,以及相似三角形的若干性质来解决问题。
[赛题精选]
例1、AB为半圆O的直径,AP⊥AB,C为半圆O上一点,CD⊥AB于D,E是CD的中点,BE交AP于P。
求证:PC是半圆O的切线。
[说明]证明切线的方法一般有:(1)直线与圆有唯一的公共点;(2)圆心到直线的距离等于半径;(3)过半径外端的直线和半径垂直;(4)垂直半径的直线过半径外端。
本例采用的是(3)。
例2、过P作⊙O的切线PA、PB,A、B为切点,又PC满足AB.PB-AB.PC-AC.PB,且AP⊥PC,∠PAB=2∠BPC。
求∠ACB。
[说明]方程的思想在几何中的计算问题中是相当有用的。
例3、PA切⊙O于A,PEF交⊙O于F、E,AC平分∠EAF,交PE于C,PB∠平分APE交AE、AF分别于B、D。
求证:ABCD为菱形。
[说明](1)要判断一个图形的形状不仅要对判定方法熟悉,还要能结合题中条件选择较易的方法证明之。
(2)本例可以推广为:
如图,PE、PH分别是圆的割线且与圆分别交于F、E、G、H。∠HPE的平分线交QF、QE于D、B,∠FQE的平分线交PH、PE于A、C。
求证:ABCD为菱形。(请自行证明)
例4、AB是半⊙O的直径,AC⊥AB,AC=AB,在半圆上任取一点D,作DE⊥CD交AB于E,BF⊥AB交线段AD的延长线于点F。
(1)设弧AD是X0的弧,若要使点E在线段BA的延长线上,求X的聚会范围。
(2)不论点D取在半圆的什么位置,图中除AB=AC外,还有两条线段一定相等,指出它们,并加以证明。
[说明](1)要学会用运动变化的观点和极端原理考虑问题;(2)在圆中要探寻线段相等,要充分利用相似三角形。
例5、已知两圆的半径分别是R、r,圆心距为3,且R、r、R+r恰为方程x3-6x2+11x-6=0的三根,问这两个圆的位置关系如何?
[说明]判断两圆位置除了本例的方法,还用到公切线的条数。但要注意,不能仅由内公切线或外公切线的条数来判定,还要添加其他附加条件;同样也不能用两个圆的交点的个数来判定。
例6、两圆内切于点P,大圆的弦AD与小圆相离,PA、PD与小圆交于点E、F,直线EF交大圆于B、C。
求证:∠APB=∠CPD。
[说明](1)要能针对直线和圆、圆和圆的各种位置关系灵活地添上常用而且是适用的辅助线。如本例是添加的过两圆的切点的公切线。(2)本例还可以变形为:
变题1:如图,⊙O1与⊙O2外离,一直线与⊙O1交于A、D,与⊙O2交于B、C,O1O2分别交⊙O1、⊙O2于E、F,AE、BF的延长线交于P,DE、CF的延长线交于Q。
求证:∠APB+∠CQD=1800。
变题2、⊙O1内含⊙O2,⊙O1的弦AB切⊙O2于点C,O1O2分别交⊙O1、⊙O2于E、F,AE、BE与FC分别交于P、Q。
求证:∠APC与∠BQC相等或互补。
例7、⊙O1与⊙O2外切于P,射线AP分别交两圆于N、M,AB、AC分别切⊙O1与⊙O2于B,且。
求证:(1)AP平分∠BAC;(2)AP2=AM.AN。
[说明]本例中的相切条件不变,(1)若AP平分∠O1AO2,则;
(2)能否由AP=AMAN证明AP平分∠OAO?读者自己考虑。
例8、在等边△ABC所在的平面内,问有多少点P使△PAB、△PBC、△PCA为等腰三角形。
[针对训练]
第六节 圆的计算题
[知识点拨]
[赛题精选]
例1、如图,七根圆形筷子的横截面的圆半径均不r,则捆扎这七根筷子一周的绳子的长度为多少?
[说明]计算曲线段的长度(包括封闭的和不封闭的)时,先要研究曲线的形状与特征,看其是否对称、规则,对称、规则时,有没有现在的公式可求,如果规则或规则但无现成的公式可求时,可用割补的思想方法来分析研究。
例2、AD、AM、AE分别是△ABC的高、中线、角平分线,且∠1=∠2。
求∠BAC的度数。
[说明]本例是一道传统几何题的逆命题,也可变成∠1=∠2←→∠BAC=90°。
例3、在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AB=4,BC=6,以B为圆心、BA为半径画弧交BC于E,再以点D为圆心、DA为半径画弧交DC的延长线于点F。
求阴影部分的面积S。
[说明]对于求曲线长、面积、体积的问题通常采用割补的方法,但对于较难用此法的图形可以考虑使用集合的思想(或图形覆盖的方法)来处理,在运用图形覆盖时,要注意图形中哪些部分重复覆盖,哪些部分没有被覆盖,哪些部分覆盖到有关图形之外,各部分之间的大小关系如何。
例4、大、中、小三圆两两相切,它们又都与直线L相切,若大、中两圆的半径分别是R、r,求小圆的半径。
例5、已知⊙O与⊙O外切与点P,外色切线AB与连心线⊙OOO相交于C,A、B是切点,D是延长线上的点,满足,求(1)cosD;(2)S⊙O1;(3)S⊙O2
[说明]在初中阶段,求三角函数值,都是建立在直角三角形的基础上的,因此,证∠APB=90°是解决本题的关键;(2)几何计算常建立在几何证明的基础上,通过证明,知道有关图形的位置关系和数量关系,从而使问题获得解决。
例6、已知△ABC中,BC=21,AC=28,AAB=35,从中挖去两个最大的等圆,则它们的半径是多少?
例7、锐角△ABC的BC边上有两点E、F,满足∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB于M,作FN⊥AC于N,延长AE交△ABC的外接圆于点D。
求证:SAMDN=S△ABC。
[分析]求面积的基本方法有三种。
(1)直接法。就是根据面积公式和性质(或推理)实现解题的方法。
(2)等积法。就是根据面积的等积性质进行转化而获得解题的方法。常见的有同底等高的三角形面积相等、全等三角形面积相等。
(30割补法。通过分割或补形,把不规则图形或不易求解的图形转化为规则图形或易于求解的图形,从本题条件,可用等积法求解。
[说明]仔细体会本例,从中悟出如何用分析中所提到的三种方法来研究面积问题。
例8、已知,⊙O与⊙O内切于点P,过P的直线交⊙O于A,交⊙O于B,AC切⊙O于C,交⊙O于D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程的两根。
求(1)PC的长;
(2)若弧BP=弧BC,且S△PBC:S△APC=1:k,求代数式m(k2-k)的值。
例9、边长为26的正三角形内接于圆,弦DE∥BC,交AB、AC于F、G,如果AF的长x和DF的长y都是整数,求y的值。
[针对训练]