1、 圆周角:顶点在圆上,两边和圆相交的角叫做圆周角。
我们发现,实际上每一个圆周角都有一个圆心角与之对应,而建立这一联系的桥梁就是它们所共同对着的那一条弧,圆周角的度数肯定要比它所对的弧的度数小,那么究竟圆周角和它所对应的一个圆心角度数之间有什么关系呢?
在⊙O中,BC所对的圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,这个图我们应怎样画呢?
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
已知:⊙O中,BC所对的圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC
求证:∠BAC=∠BOC
分析:如果圆心O在∠BAC的一边AB上(如图),只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明。如果圆心O在∠BAC的内部或外部(如图),那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可。
证明:分三种情况讨论。
(1)如图(1),圆心O在∠BAC的一条边上。
∵OA=OC
∴∠C=∠BAC
∵∠BOC=∠BAC+∠C
∴∠BAC=∠BOC。
(2)如图(2)中,圆心O在∠BAC的内部。作直径AD。利用(1)的结果,有
∠BAD=∠BOD
∠DAC=∠DOC
∴∠BAD+∠DAC=(∠BOD+∠DOC)
∴∠BAC=∠BOC
(3)如图(3)中,圆心O在∠BAC的外部。作直径AD。利用(1)的结果,有
∠DAB=∠DOB
∠DAC=∠DOC
∴∠DAC-∠DAB=(∠DOC-∠DOB)
∴∠BAC=∠BOC。
这样就得到了圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
例题选讲: