1、　 圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角。 我们发现，实际上每一个圆周角都有一个圆心角与之对应，而建立这一联系的桥梁就是它们所共同对着的那一条弧，圆周角的度数肯定要比它所对的弧的度数小，那么究竟圆周角和它所对应的一个圆心角度数之间有什么关系呢？ 在⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，这个图我们应怎样画呢？ 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 已知：⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC 求证：∠BAC＝∠BOC 分析：如果圆心O在∠BAC的一边AB上(如图)，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明。如果圆心O在∠BAC的内部或外部(如图)，那么只要作出直径AD，将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可。 证明：分三种情况讨论。 (1)如图(1)，圆心O在∠BAC的一条边上。 ∵OA＝OC ∴∠C＝∠BAC ∵∠BOC＝∠BAC+∠C ∴∠BAC＝∠BOC。 (2)如图(2)中，圆心O在∠BAC的内部。作直径AD。利用(1)的结果，有 ∠BAD＝∠BOD ∠DAC＝∠DOC ∴∠BAD+∠DAC＝(∠BOD+∠DOC) ∴∠BAC＝∠BOC (3)如图(3)中，圆心O在∠BAC的外部。作直径AD。利用(1)的结果，有 ∠DAB＝∠DOB ∠DAC＝∠DOC ∴∠DAC－∠DAB＝(∠DOC－∠DOB) ∴∠BAC＝∠BOC。 这样就得到了圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 例题选讲：

1、如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC。 求证：∠ACB＝2∠BAC。 在⊙O中，∵∠ACB＝∠AOB， ∠BAC＝∠BOC 又∵∠AOB＝2∠BOC ∴∠ACB＝2∠BAC 课练： (1)⊙O中，圆心角∠AOB＝1000，点C在劣弧AB上，点D在优弧AB上， 则∠ACB＝　　 ，∠ADB＝　　　　 。 (2)如图⊙O中，若AB的度数为560，则∠AOB＝　　　　 ，∠ACB＝　　　 。 (3)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BDC＝250，则∠BOC＝　　　 ，AC的度数为 　　　　 度。 (4)等边ΔABC内接于⊙O，BD是直径，则∠BDC＝　　　 ，∠ACD＝　　　　 。若CD＝10cm，则⊙O的半径长为　　　　　　 。 小结：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 圆周角(2) 学习目的：掌握圆周角定理的三个推论并能运用这些知识进行有关的证明。 重点难点：推论的应用。 教学过程：一、复习提问：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等； 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径。 　 (注意：一条弦对两个圆周角。举例：若AB为⊙O中600的弧，则弦AB所对的圆周角度数为　　　　　 。) 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 例题选讲：1、如图AD为ΔABC高，AE为ΔABC外接圆直径。求证：ABAC＝AEAD (求解此题，注意用两种方法及AB、AC、AD、AE四条线段的关系) 　

2、ΔABC内接于⊙O，AO是半径，AD⊥BC于D。 求证：∠BAD＝∠OAC。 证法一：延长AO交⊙O于E，连结CE ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝900， 又∵AD⊥BC＝900 ∴∠B＝∠E ∴∠ACE－∠E＝∠ADB－∠B 即∠BAD＝∠OAC 证法二：如图，作OE⊥AB交⊙O于E，交AB于F。 ∵OE⊥AB ∴AE＝AB ∴∠AOE的度数＝AB的度数 ∴∠C的度数＝AB的度数。 ∴∠AOE＝∠C ∵AD⊥BC ∴∠OFA＝∠ADC＝900 ∴∠OFA－∠EOA＝∠ADC－∠C 即∠FAO＝∠DAC ∴∠FAO＝∠OAD＝∠DAC+∠OAD ∴∠BAD＝∠OAC 证法三：如图，连结OB，作OF⊥AB于F ∵AO＝OB ∴OF平分∠AOB ∴∠AOB和∠C同对AB。 ∴∠C＝∠AOB，∴∠C＝∠AOF ∵AD⊥BC ∴∠AFO＝∠ADC＝900 ∴∠AFO－∠AOF＝∠ADC－∠C ∴∠FAO＝∠DAC ∴∠FAO+∠OAD＝∠DAC+∠OAD ∴∠FAD＝∠OAC 评析：①比例是关于圆周角，圆心角，直径上的圆周角，垂径定理等知识的应用题。注意所做的几种辅助线，是这几个知识点应用时常用到的。 ②此例的几个证法体现了证角相等的常用方法――利用已知角的关系(角之间的相等关系，和差关系，倍分关系，互余关系，互补关系等)代换或计算。要证∠BAD＝∠CAO，作差后，即证：∠BAO＝∠CAD，然后构造直角三角形来解决是这个题的解决线索)

3、已知：⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上一点且CF＝CB，BF交CG于E。求证：CE＝BE 证法一：如图，连结CB ∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB ∴BC＝GB ∵CF＝BC ∴CF＝BG ∴∠C＝∠CBE ∴CE＝BE 证法二：作ON⊥BF于N，连结OE ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG ∴CB＝BG ∴CB＝CF ∴CF＝BC＝BG ∴BF＝CG ∴ON＝OD ∵∠ONE＝∠ODE＝900 OE＝OE ∴ΔONEΔODE ∴NE＝DE ∵BN＝BF CD＝CG ∴BN＝CD ∴BN－EN＝CD－DE ∴BE＝CE 证法三：如图，连结OC，BC，OE，并延长OE交BC于N。 ∵CF＝BC ∴OC⊥BF ∵AB⊥CG ∴E是ΔOCB的垂心(垂心－三角形三条高的交点) ∴ON⊥BC ∵OC＝OB ∴ON是BC边上的中线 ∴EN是BC的中垂线 ∴EC＝BE 证法四：连结OC交BF于N ∵CF＝BC ∴OC⊥BF ∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB ∴BG＝BC ∴CF＝BG＝BC ∴BF＝CG ∴ON＝OD ∵OC＝OB ∴OC－ON＝OB－OD ∵CN＝BD 又∵∠CNE＝∠BDE＝900 ∠CEN＝∠BED ∴ΔCNE≌ΔBDE ∴CE＝BE 评析：(1)这个题目的结论是证明线段相等，四种证法体现了证线段相等的常用方法，这四个方法是：①利用等角对等边；②利用全等三角形；③等腰三角形三线合一；④等线段减等线段。 (2)注意体会关于弧的中点问题常作的辅助线，即“弧心圆心两相连”。 (3)几何难学难就难在思路分析，请注意一题多解，它不但可以提高我们分析问题的能力，而且是串联知识，体会定理用法的好形式。

圆周角(3)――习题课 学习目的：复习巩固圆周角定理及推论内容，并注意综合应用。 重点难点：综合应用 教学过程：一、复习提问：1、圆周角定理的三个推论的内容及推论1的后一段话的前提条件。

2、辨别：圆周角等于圆心角的一半。