2、ΔABC内接于⊙O,AO是半径,AD⊥BC于D。
求证:∠BAD=∠OAC。
证法一:延长AO交⊙O于E,连结CE
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ACE=900,
又∵AD⊥BC=900
∴∠B=∠E
∴∠ACE-∠E=∠ADB-∠B
即∠BAD=∠OAC
证法二:如图,作OE⊥AB交⊙O于E,交AB于F。
∵OE⊥AB
∴AE=AB
∴∠AOE的度数=AB的度数
∴∠C的度数=AB的度数。
∴∠AOE=∠C
∵AD⊥BC
∴∠OFA=∠ADC=900
∴∠OFA-∠EOA=∠ADC-∠C
即∠FAO=∠DAC
∴∠FAO=∠OAD=∠DAC+∠OAD
∴∠BAD=∠OAC
证法三:如图,连结OB,作OF⊥AB于F
∵AO=OB
∴OF平分∠AOB
∴∠AOB和∠C同对AB。
∴∠C=∠AOB,∴∠C=∠AOF
∵AD⊥BC
∴∠AFO=∠ADC=900
∴∠AFO-∠AOF=∠ADC-∠C
∴∠FAO=∠DAC
∴∠FAO+∠OAD=∠DAC+∠OAD
∴∠FAD=∠OAC
评析:①比例是关于圆周角,圆心角,直径上的圆周角,垂径定理等知识的应用题。注意所做的几种辅助线,是这几个知识点应用时常用到的。
②此例的几个证法体现了证角相等的常用方法――利用已知角的关系(角之间的相等关系,和差关系,倍分关系,互余关系,互补关系等)代换或计算。要证∠BAD=∠CAO,作差后,即证:∠BAO=∠CAD,然后构造直角三角形来解决是这个题的解决线索)