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例1、已知⊙O中,OC为半径,AB、CD为弦,且OC⊥AB,垂足为N,AB、CD交于E,求证:ACBC=CECD
例2、已知⊙O的半径为R,弦AB长为a,弦BC∥OA,求AC长在解圆的有关问题时,常常添加辅助线构成直径所对的圆周角,以便利用直径所对的圆周角是直角的性质。
例3、已知,如图:AB是⊙O的直径,AC是弦,P是AC延长线上一点且AC=PC,PB的延长线交⊙O于点D。求证:AC=DC
例4、ΔABC内接于⊙O,AB=AC,弦AE交BC于D。求证:
例5、已知:AB是⊙O的直径,DM⊥AB于M,交⊙O于F,BD交⊙O于点C,AC交DM于E。求证:
例6、若圆内接四边形的两条对角线互相垂直。
求证:自圆心到任一边的距离等于对边长的一半(变化题)
例7、已知:在⊙O中,直径AB长为10cm,弦AC长为6cm,∠ACB平分线交⊙O于D,求BC、AD和BD的长。
例8、如图弦AC=AB,连结CA到D,使AD=AC,连结DB并延长交圆于E。
求证:CE为圆的直径。
《海淀题链》P241例3:已知:如图,AB是半圆O的直径,C和E是半圆上两点,CD⊥AB于D,连结AE,若AC=CE。求证:∠1=∠2
解法一:连结BC,∵AB是直径,
∴∠ACB=900,
∴∠B+∠BAC=900
∵CD⊥AB,
∴∠1+∠BAC=900
∴∠1=∠B
∵AC=CE,
∴∠B=∠2,
∴∠1=∠2
解法二:如图,连结OC。
∵AC=CE,O是圆心,
∴OC⊥AE,∴∠2+∠OCA=900。
∵CD⊥AB,∴∠1+∠OAC=900。
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠1=∠2
点评:解法一是利用“适当作直径所对的圆周角,以及弧与圆周角互相转换思路”得到的;解法二是利用作弦心距这条常用辅助线得到的。
解法三:如图,延长CD交另半圆于F。
∵AB是直径,CD⊥AB,
∵AC=AF。
∵AC=CE,
∴AF=CE,
∴∠1=∠2。
解法四:如图,连结BC与BE,设AE和CD交于F。
∵AB是直径,∴AE⊥BE,
∴∠ABE+∠EAB=900,
同理∠AFD+∠EAB=900,
∴∠AFD=∠ABE=∠3+∠4。
∵AC=CE,∴∠3=∠4=∠2,
∴∠AFD=2∠2.
∵∠AFD=∠1+∠2,∴∠1+∠2=2∠2。
∴∠1=∠2。
《海淀题链》P255变题2:已知:如图,⊙O中弦AC⊥BD于H,若⊙O半径为2,。求DC的长。
解:作直径DF,连结AD,CF。
∵AC⊥BD,,
∴cot∠DAC=,∴∠DAC=300。
∵∠F=∠DAC,
∴∠F=300。
∵DF是直径,∴∠DCF=900,∴DC=。
∵⊙O的半径为2,∴DF=4,∴DC=2。
变题3已知:如图,⊙O中弦AC⊥BD于H,若⊙O半径为2,AC=BD。求DC的长。
解:作直径DF,连结CF和BF,则∠DCF=900,FB⊥BD。
∵⊙O的半径为2,∴DF=4。
∵AC=BD,∴DAB=ADC,AB=DC。
∵AC⊥BD,
∴FB∥AC,
∴FC=AB=DC,
∴FC=DC。
∵,
∴。∴DC=。
变题4已知:如图,⊙O中弦AC⊥BD于H,BH:CH=1:2,DC=2。
求⊙O半径的长。
解:作直径DF,连结FC和BC,则∠DCF=900。
∵AC⊥BD,∠B=∠F,∴。
∵DC=2,∴CF=1。
∵,
∴,
∴。
《小备课笔记》9、如图,AD是⊙O的直径,BD=DC,AB的延长线交CD延长线于F,
CM⊥AB于M点。
求证:(相似形)
《章节讲练》P34例5:如图,在⊙O中,弦CA,DB的延长线交于F点,EF∥BC,交DA延长线于E点,求证:(相似形)
《小备课笔记》10、如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,延长AD交△ABC的外接圆于E,已知AB=2,BD=4,BE=5。
求AE的长。(相似形)
11、在⊙O中,CD过圆心,且CD⊥弦AB于D,过点C任作一弦CF交⊙O于F,交AB于E,若BC=,EF=2,求CF的长。(相似形)