3、已知:⊙O中,AB是⊙O的直径,弦CG⊥AB于D,F是⊙O上一点且CF=CB,BF交CG于E。求证:CE=BE
证法一:如图,连结CB
∵AB是⊙O的直径,弦CG⊥AB
∴BC=GB
∵CF=BC
∴CF=BG
∴∠C=∠CBE
∴CE=BE
证法二:作ON⊥BF于N,连结OE
∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CG
∴CB=BG
∴CB=CF
∴CF=BC=BG
∴BF=CG
∴ON=OD
∵∠ONE=∠ODE=900
OE=OE
∴ΔONEΔODE
∴NE=DE
∵BN=BF
CD=CG
∴BN=CD
∴BN-EN=CD-DE
∴BE=CE
证法三:如图,连结OC,BC,OE,并延长OE交BC于N。
∵CF=BC
∴OC⊥BF
∵AB⊥CG
∴E是ΔOCB的垂心(垂心-三角形三条高的交点)
∴ON⊥BC
∵OC=OB
∴ON是BC边上的中线
∴EN是BC的中垂线
∴EC=BE
证法四:连结OC交BF于N
∵CF=BC
∴OC⊥BF
∵AB是⊙O的直径,CG⊥AB
∴BG=BC
∴CF=BG=BC
∴BF=CG
∴ON=OD
∵OC=OB
∴OC-ON=OB-OD
∵CN=BD
又∵∠CNE=∠BDE=900
∠CEN=∠BED
∴ΔCNE≌ΔBDE
∴CE=BE
评析:(1)这个题目的结论是证明线段相等,四种证法体现了证线段相等的常用方法,这四个方法是:①利用等角对等边;②利用全等三角形;③等腰三角形三线合一;④等线段减等线段。
(2)注意体会关于弧的中点问题常作的辅助线,即“弧心圆心两相连”。
(3)几何难学难就难在思路分析,请注意一题多解,它不但可以提高我们分析问题的能力,而且是串联知识,体会定理用法的好形式。