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19.已知直线l与⊙O,AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D.
(1)如图(1),当直线l与⊙O相切于点C时,若∠DAC=35°,求∠DAB的度数;
(2)如图(2),当直线l与⊙O相交于点E、F时,求证:∠DAE=∠BAF.
[考点]切线的性质.
[专题]证明题.
[分析](1)连接OC,如图1,根据切线的性质得OC⊥l,加上AD⊥l,则AD∥OC,所以∠OCA=∠DAC=35°,由于∠OAC=∠OCA=35°,易得∠DAB=70°;
(2)连结BF,如图2,先根据圆周角定理得到∠AFB=90°,再根据圆内接四边形的性质得∠AED=∠ABF,然后利用等角的余角相等即可得到结论.
[解答](1)解:连接OC,如图1,
∵直线l与⊙O相切于点C,
∴OC⊥l,
∵AD⊥l,
∴AD∥OC,
∴∠OCA=∠DAC=35°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=35°,
∴∠DAB=∠DAC+∠OAC=35°+35°=70°;
(2)证明:连结BF,如图2,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AFB=90°,
∵AD⊥EF,
∴∠ADE=90°,
∵∠AED=∠ABF,
∴∠DAE=∠BAF.
[点评]本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.