1. 教学线面平行的性质定理:
① 讨论:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线的位置关系如何?
② 给出线面性质定理及符号语言:.
③ 讨论性质定理的证明:
∵ ,∴和没有公共点,
又∵,∴和没有公共点;
即和都在内,且没有公共点,∴.
④ 讨论:如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线,那么这条直线是否在此平面内? 如果两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条与平面有何位置关系?
教学例题:
例1:已知直线a∥直线b,直线a∥平面α,bα,
求证:b∥平面α
分析:如何作辅助平面? → 怎样进行平行的转化?
→ 师生共练 → 小结:作辅助平面;
转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面平行”
② 练习:一条直线和两个相交平面平行,求证:它和这两个平面的交线平行。(改写成数学符号语言→试证)
已知直线∥平面,直线∥平面,平面平面=,求证.
例2:有一块木料如图,已知棱BC平行于面A′C′.要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?所画的线和面AC有什么关系?
例3:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面。
讨论:存在怎样的线线平行或线面平行? 怎样画线?
如何证明所画就是所求?
变式:如果AD∥BC,BC∥面A′C′,那么,AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系.为什么?
教学面面平行性质定理:
① 讨论:两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系?两个平面内的直线有什么位置关系?当第三个平面和两个平行平面都相交,两条交线有什么关系?为什么?
② 提出性质定理:两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
③ 用符号语言表示性质定理:
④ 讨论性质定理的证明思路.
教学例题:
例4已知平面
例5:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个平面也相交.
讨论:如何将文字语言转化为图形语言和符号语言?
→ 如何作辅助平面? → 师生共同完成
例6:求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言:
已知:,是夹在两个平行平面间的平行线段,求证:.
→ 分析:利用什么定理?(面面平行性质定理) 关键是如何得到第三个相交平面
② 练习:若,,求证:.
(试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演)
在平面内取两条相交直线,
分别过作平面,使它们分别与平面交于两相交直线,
∵,∴,
又∵,同理在平面内存在两相交直线,使得,
∴, ∴.