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3.例3。已知⊙O的半径为3,直线l与⊙O相切,一动圆与l相切,并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径,求动圆圆心的轨迹方程
分析:问题中的几何性质十分突出,切线、直径、垂直、圆心,如何利用这些几何性质呢?
解:取过O点且与l平行的直线为x轴,过O点且垂直于l的直线为y轴,建立直角坐标系
设动圆圆心为M(x,y),
⊙O与⊙M的公共弦为AB,⊙M与l切于点C,则|MA|=|MC|
∵AB为⊙O的直径,
∴MO垂直平分AB于O
由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9,
而|MC|=|y+3|,
∴=|y+3|
化简得x2=6y,这就是动圆圆心的轨迹方程
点评:求轨迹的步骤是“建系,设点,找关系式,除瑕点”