题目所在试卷参考答案：

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2⁰，接下来的两项是2⁰，2¹，再接下来的三项是2⁰，2¹，2²，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A．440　　　　　　　　　　　　　 B．330　　　　　　　　　　　　　 C．220　　　　　　　　　　　　　 D．110

[答案]A

[解析]试题分析：由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为

要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，

所以，则，此时，

对应满足的最小条件为，故选A.

[考点]等差数列、等比数列的求和.

[名师点睛]本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= 　　　　　　　.

[答案]

14．设x，y满足约束条件，则的最小值为 　　　　　　　.

[答案]

15．已知双曲线C：(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.

[答案]

[考点]双曲线的简单性质.

[名师点睛]双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是.

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm³)的最大值为_______.

[答案]

[考点]简单几何体的体积

[名师点睛]对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17．(12分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为　　　

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

[考点]三角函数及其变换.

[名师点睛]在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

18.(12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.

则，

所以二面角的余弦值为.

[考点]面面垂直的证明，二面角平面角的求解

[名师点睛]高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.

19．(12分)

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．

用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)．

附：若随机变量服从正态分布，则，

，．

试题解析：(1)抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此

.

的数学期望为.

20.(12分)

已知椭圆C：(a>b>0)，四点P₁(1,1)，P₂(0,1)，P₃(–1，)，P₄(1，)中恰有三点在椭圆C上.

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点.若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

(2)设直线P₂A与直线P₂B的斜率分别为k₁，k₂，

如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为(t，)，(t，).

则，得，不符合题设.

从而可设l：().将代入得

由题设可知_.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁+x₂=，x₁x₂=.

而

.

由题设，故.

即.

解得.

当且仅当时，，欲使l：，即，

所以l过定点(2，)

[考点]椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.

[名师点睛]椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.

21.(12分)

已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求a的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．[选修4―4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为

.

(1)若a=−1，求C与l的交点坐标；

(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.

[解析]试题分析：(1)先将曲线和直线l化成普通方程，然后联立求出交点坐标；(2)直线的普通方程为，设上的点，的距离为.对a进行讨23．[选修4-5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)=–x²+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

[解析]

试题分析：(1)将代入，不等式等价于，对按，，讨论，得出最值的解集；(2)当时，.若的解集包含，