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4. (2011江苏镇江,15,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=__▲__,CD=__▲__.
[解题思路]连结OA.由垂径定理知AC=3.设OC=x,则OA=x+1.由勾股定理得(x+1)2-x2=32.解得x=4.于是CD=2x+1=9.
[答案]4,9
[点评]此题考查垂径定理和勾股定理等知识.此题的另一解法是:利用相似形得AC2=CE.CD,从而先求出CD,然后再求OC的长,难度中等.
(2011常州市第15题,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC= CD= 。
[解题思路]连接OA,设OA=x,则OC=x-1,由垂径定理有AC=AB=3,根据勾股定理:x2=32+(x-1)2,解得x=5,所以OC=4,OD=5.
[答案]4;5.
[点评]运用垂径定理解答问题时通常都是连接圆的半径,解答本题的关键是根据勾股定理建立方程使问题得以解决。
(2011江苏连云港,15,3分)如图,点D为AC上一点,点O为边AB上一点,AD=DO.以O为圆心,OD长为半径作圆,交AC于另一点E,交AB于点F,G,连接EF.若∠BAC=22°,则∠EFG=_ ▲ .
[解题思路]由AD=DO,则∠BAC=∠DOA=22°,则∠DEF=×22°=11°,由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和,得∠EFG=33°.
[答案]33°
[点评]本题考查了等腰三角形的性质、圆心角与圆周角之间的关系、三角形的内、外角之间关系,有一定的综合性。难度中等。
(2011江苏无锡,18,2分)如图,以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB=20°,则∠OCD= ▲ °.
[解题思路]如图,连接OD,因为∠DAB=20°,所以∠DOB=2∠DAB=40°,所以∠DOE=130°,∠OCD=∠DOE=65°.
[答案]65
[点评]本题主要考查与圆有关的弧、弧所对的圆周角、弧所对的圆心角,以及它们之间的数量关系,可以运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”等定理求解.难度中等.