1. 如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC.将△ACD沿对角线AC翻折后,点D恰好与边AB的中点M重合.
(1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由;
(2)当AB=4时,求此梯形的面积.
[解题思路](1)要判断点C是否在以AB为直径的圆上,只要判断点C到线段AB中点M的距离CM是否为线段AB的一半,(2)作梯形ABCD的高DE,求出上底CD和高DE的长,代入梯形的面积公式即可求得.
[答案](1)点C在以AB为直径的圆上.
理由:连接MC,MD,
∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC,
∵∠DAC=∠BAC, ∴∠DAC=∠DCA, ∴AD=CD,
∵AD=AM, ∴CD=AM,
∴四边形AMCD是平行四边形,∴MC=AD,
同理MD=BC,
∵AD=BC, ∴MC=MD=AD=BC=MA=MB,
∴点C在以AB为直径的圆上.
(2)由(1)得△AMD是等边三角形,过点D作DE⊥AB于E,
由勾股定理得,DE=,∴梯形ABCD的面积=.
[点评]本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理及梯形的面积公式,关键是证点C到线段AB中点M的距离CM为线段AB的一半及求上底CD和高DE长,难度较大.