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26.(2011 江苏苏州,26,8分)如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.
(1)弦长AB等于 (结果保留根号);
(2)当∠D=20°时,求∠BOD的度数;
(3)当AC的长度为多少时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似?
请写出解答过程.
[解题思路](1)过点O作OE⊥AB于E,根据∠B=30°,OB=2,
可得BE=,由垂径定理知AB=2;(2)连接AO,利用半径相等,
可得∠BAD=∠BAD﹢∠BAD=50°;(3)由∠BCD是△ADC的外角,可知
∠BCD≠∠CAD,∠BCD≠∠D,只有∠BCD=∠ACD,即∠BCD=∠ACD=90°
由∠B=30°,得∠BOD=120°,由圆周角知∠CAD=60° ,可得△DAC∽△BOC,
AC=AB=.
[解答](1)2
(2)如图。连接OA.
∵OA=OB,OA=OD, ∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D
∴∠DAB=∠BAO﹢∠DAO=∠B﹢∠D.
又∵∠B=30°,∠D=20°,∴∠DAB=50°.
∠BOD=2∠DAB=100°.
(3)∵∠BCO=∠A﹢∠D,∠BCO>∠A,∠BCO>∠D
∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°.
此时∠BOC=60°,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°.
∴△DAC∽△BOC
∵∠BCO=90,即OC⊥AB,∴AC=AB=.
[点评]圆中的圆周角定理、垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现,要牢固掌握.