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2. (2011湖北孝感,23, 10分)如图,等边△ABC内接⊙O,P是上任一点(点P不与点A、B重合).连AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.
(1)填空:∠APC=________ 度,∠BPC________ 度.
(2)求证:△ACM≌△BCP.
(3)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积
[解题思路]对于(1),利用同弧所对的圆周角相等即可得到两个角的度数;对于(2),根据平行及(1)中∠APC=60°,可得到△PCM为等边三角形,再用AAS证明全等;(3)要求梯形PBCM的面积,上底=BP=2,再结合(2)中的结论,可知CM=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,所以,求高是关键.
[答案]解:(1)60,60.
(2)∵CM∥BP,∴∠BPM+∠M=180°,∠PCM=∠BPC=60°,∴∠M=180°-∠BPM =180°-(∠APC+∠BPC)=180°-120°=60°.∴∠M=∠BPC=60°.又△ABC为等边三角形,∴BC=AC,∠CAB=60°,∴∠PCM-∠ACP=∠BCA-∠ACP,即∠ACM=∠BCP.在△ACM和△BCP中
∠M=∠BPC,
∠ACM=∠BCP,
AC=BC,
∴△ACM≌△BCP.
(3)∵△ACM≌△BCP,
∴CM=CP ,AM=BP.
又∠M=60°,∴△PCM为等边三角形.
∴CM=CP=PM=1+2=3.
作PH⊥CM于H.
在Rt△PMH中,∠MPH=30°∴PH=.
∴S四边形PBCM=.
[点评]本题以圆为背景,重点考查了圆周角定理以及推论,全等的判定以及梯形和解直角三角形等.难度中等.