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3.(2011湖北随州,22,8分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
⑴求证△ABD为等腰三角形.
⑵求证AC•AF=DF•FE
[思路分析](1)利用圆内接四边的性质可得∠MCD=∠DAB,由同弧或等弧所对的圆周角相等,可得∠DCA=∠DBA,由角平分线的定义可得∠MCD=∠DCA.所以∠DBA=∠DAB.所以△ABD为等腰三角形.
(2)可通过证明△DCA∽△FAE即可.
[答案]⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.
⑵∵∠DBA=∠DAB,∴弧AD=弧BD,又∵BC=AF,∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA,
∴弧CD=弧DF,∴CD=DF.
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE,∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE,∴AC:FE=CD:AF,∴AC•AF= CD •FE,而CD=DF,∴AC•AF=DF•FE.
[点评]本题主要考查了圆的内接四边形,相似三角形的判定和性质等知识点,通过构建相似三角形来来求解是解题的关键.难度中等.